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21 de Janeiro de 2017   Lógica

Paradoxo sem auto-referência

Stephen Yablo
Tradução de Hugo Luzio

Por que são algumas frases paradoxais e outras não? Desde Russell, a resposta universal tem sido: circularidade, e, mais especificamente, auto-referência.1

Não que a auto-referência seja suficiente para gerar paradoxos. Esta perspectiva é refutada pelo trabalho de Gödel e Tarski, e por vários exemplos de senso-comum, como “Pela última vez, pára com essa barulheira!” e “Ouve hoje, ó Deus de amor, este hino de louvor”. O que parece comum pensar é que algum tipo de auto-referência, directa ou mediada, é necessária para gerar paradoxos. Daí ouvir-se frequentemente que a forma mais segura de manter uma linguagem livre de paradoxos consiste em impor uma eliminação completa de toda a auto-referência. “Isto pode ser como matar moscas com um canhão”, diz-se, “mas ao menos mata a mosca”.

O problema é que não mata a mosca: paradoxos como o do mentiroso são possíveis apesar da eliminação completa da auto-referência. Imagine-se uma sequência infinita de frases S1, S2, S3,…, em que cada uma considera que qualquer frase subsequente é uma não-verdade.

(S1) para qualquer k > 1, Sk é uma não-verdade
(S 2) para qualquer k > 2, Sk é uma não-verdade
(S 3) para qualquer k > 3, Sk é uma não-verdade

Suponha-se por contradição que alguma Sn é verdadeira. Dado o que Sn diz, para qualquer k > n, Sk é uma não-verdade. Assim, (a) Sn+1 é uma não-verdade, e (b) para qualquer k>n+1, Sk é uma não-verdade. Por (b), o que Sn+1 diz ocorre de facto, de onde, contrariamente a (a) Sn+1 é verdadeira! Assim, qualquer frase Sn na sequência é uma não-verdade. Mas então todas as frases subsequentes a qualquer frase dada Sn são não-verdades e, por conseguinte, Sn é afinal verdadeira! Concluo que a auto-referência nem é necessária nem suficiente para paradoxos do tipo do paradoxo do mentiroso.

Stephen Yablo

Retirado de Analysis (1993) 53 (4): 251–252.

Nota

  1. Alguns paradoxos semânticos, por exemplo o paradoxo de Grelling, não dependem da auto-referência, mas de outros tipos circularidade. Contudo, a auto-referência tem parecido essencial a paradoxos do tipo do do mentiroso. Esta nota exemplifica um paradoxo do tipo do do mentiroso que não é, de modo algum, circular. ↩︎