Teses de filosofia

Apresentação

Sancho Silva
Em Torno da Filosofia da Matemática de Frege, de Sancho Silva
Supervisão de Fernando Ferreira
Dissertação de Mestrado
Faculdade de Letras da Universidade de Lisboa
Lisboa, 2002, 116 pp. (27 000 palavras)
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O Begriffsschrift, o Die Grundlagen der Arithmetik e os Grundgesetze der Arithmetik representam três etapas do programa logicista de Frege de redução da aritmética à lógica. No Begriffsschrift, publicado em 1879, Frege introduz (pela primeira vez na história) o cálculo de predicados (de todas as ordens) com axiomas e regras de inferência descritas em termos puramente sintácticos. Em 1884, nos Grundlagen, Frege expõe informalmente o seu programa, apresenta um esboço de algumas demonstrações e discute algumas posições de filósofos e matemáticos no que respeita os fundamentos da aritmética. Em 1891 Frege adiciona ao seu sistema de lógica o célebre axioma (V) segundo o qual dois conceitos têm a mesma extensão se, e só se, forem verdadeiros exactamente dos mesmos objectos. Frege acreditava que este axioma era "indemonstrável" e devia "ser visto como uma lei fundamental da lógica". Dois anos mais tarde, em 1893, Frege publica o primeiro volume dos Grundgesetze. Neste livro Frege pretendia expor o seu projecto logicista de uma forma acabada, incluindo demonstrações formais detalhadas dos resultados mais importantes. No entanto, em 1902, antes da publicação do segundo volume, Frege recebe uma carta de Russell informando-o da existência de uma inconsistência — o Paradoxo de Russell — no seu sistema de lógica.

Olhando para o programa logicista de Frege de uma perspectiva contemporânea, existem várias razões para tentar eliminar a inconsistência alterando o menos possível o sistema formal dos Grundgesetze. Podemos, por um lado, querer saber quão próximo Frege ficou de terminar o seu programa, e qual a origem exacta da inconsistência. Por outro lado podemos estar interessados na defesa de um programa neo-logicista de redução da aritmética à lógica, em encontrar sistemas consistentes que interpretem (alguma) aritmética e cujos axiomas possam ser interpretados como verdades lógicas. Por último, podemos estar simplesmente interessados, em geral, em interpretações da aritmética em teorias formais, nos axiomas fundamentais destas teorias e na sua força dedutiva e consistência.

Nesta tese introduz-se o sistema formal dos Grundgesetze (GG), mostra-se como Frege definiu, neste sistema, as noções aritméticas mais básicas, mostra-se como interpretar, a partir destas definições, os axiomas da aritmética de segunda-ordem e mostra-se como interpretar o Paradoxo de Russell.

De seguida tenta-se determinar qual a origem ou causa da inconsistência do sistema GG. Isto leva-nos a estudar a força dedutiva de alguns sub-sistemas consistentes de GG resultantes da eliminação em GG de alguns aspectos que pareçam ser responsáveis pela inconsistência.

Finalmente tenta-se avaliar a viabilidade de um programa neo-logicista dos fundamentos da aritmética à luz dos resultados obtidos nos capítulos precedentes procurando determinar até que ponto alguns dos sistemas estudados podem ser interpretados como sistemas lógicos.

O autor nasceu em 1973 em Lisboa. É licenciado em Matemática pelo Trinity College da Universidade de Dublin em 1995 e foi bolseiro do programa Erasmus na Universidade Livre de Berlim, Alemanha, em 1993/1994. Frequentou o Curso de Escultura na NCAD (National College of Art and Design) em Dublin, na Irlanda. Frequentou o mestrado em Filosofia da Linguagem e da Consciência na Faculdade de Letras da Universidade de Lisboa entre 1995 e 2000 (Bolseiro da Fundação para a Ciência e Tecnologia). Concluiu o curso de Escultura da Ar.Co. em Lisboa em 2001 (bolseiro José de Guimarães em 98/99, bolseiro De Walt em 99/2000, bolseiro Elu em 2000/2001). É aluno de Mestrado em Artes Plásticas no Pratt Institute em Nova Iorque desde 2001 (bolseiro Fulbright/Carmona e Costa).

Sancho Silva
sancho.silva@clix.pt
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