Enciclopédia de Termos Lógico-Filosóficos
Setembro de 2001 ⋅ Lógica

Regras de dedução natural

Desidério Murcho

A dedução natural é um método de demonstração introduzido independentemente por Gerhard Gentzen em 1935 e Stanislaw Jaskowski em 1934. Os sistemas de dedução natural caracterizam-se, entre outros aspectos, por não apresentarem um conjunto de axiomas e regras de inferências, mas apenas um conjunto de regras. Neste artigo apresentaremos um conjunto de regras primitivas de dedução natural, reservando para o final algumas considerações sobre as vantagens deste sistema, que hoje em dia suplantou já, nos meios filosóficos, os sistemas axiomáticos. Os vários sistemas hoje existentes diferem ligeiramente em algumas das regras mais subtis. Neste artigo apresentaremos a versão de Newton-Smith (Lógica: Um Curso Introdutório, trad. de Desidério Murcho, Gradiva, Lisboa, 1998).

Um dos aspectos mais interessantes dos sistemas de dedução natural resulta do facto de exigirem que as derivações exibam, em cada passo, as premissas das quais esse passo depende. Esta exigência não existe nos sistemas axiomáticos. A seu tempo, veremos uma importante consequência lógico-filosófica desta exigência. Para já, é útil dar uma ideia de como ela funciona.

Uma demonstração é constituída por 4 colunas. Na coluna 1 — a coluna das dependências — exibem-se as dependências lógicas. Se o passo em causa for uma premissa escreve-se Prem, se for uma suposição escreve-se Sup. Caso contrário teremos de escrever o número da premissa ou suposição da qual o nosso passo depende (caso dependa de alguma). A coluna 1 é também conhecida como coluna do cálculo do conjunto de premissas.

A diferença entre premissas e suposições é a seguinte: muitas vezes, no decurso de uma derivação, queremos introduzir fórmulas a título hipotético, as quais serão, a seu tempo, eliminadas. Chamamos “suposições” a estas fórmulas.

Na coluna 2 limitamo-nos a numerar os passos da nossa derivação. é a coluna da numeração.

Na coluna 3 efectuamos o cálculo propriamente dito: é nesta coluna que apresentamos as fórmulas que estamos a manipular. é a coluna do cálculo.

Na coluna 4 justificamos a inferência apresentada na coluna 3. é a coluna da justificação. Nesta coluna afirmamos que o nosso passo resulta, por exemplo, do passo (4), por uma aplicação da regra da eliminação da conjunção.

O estudante tem tendência para confundir o papel da coluna da justificação com a coluna das dependências. Afinal, se justificámos um resultado apelando para o passo (4), para retomar o nosso exemplo, parece óbvio que na coluna das dependências terá de surgir o número 4. Um dos resultados do estudo da lógica é a tomada de consciência de que nem tudo o que parece óbvio é verdade e este é um desses casos. Se o passo (4) do nosso exemplo não for uma premissa nem uma suposição, o número que devemos inscrever na coluna das dependências não é 4. Isto acontece porque o que nos interessa é registar as premissas das quais o nosso resultado depende.

Na verdade, como veremos melhor a seu tempo, se tomarmos as fórmulas referidas na coluna das dependências juntamente com as fórmulas inscritas na coluna 3, obtemos um sequente sintáctico válido. (Em muitos sistemas de dedução natural, com regras ligeiramente diferentes quanto ao funcionamento das dependências, esta afirmação não é verdadeira.)

Na apresentação das regras usamos as letras A, B, C como variáveis de fórmula e p, q, r como variáveis proposicionais. Isto significa que AB representa qualquer proposição que tenha a forma de uma condicional. pq tem a forma de uma condicional e é uma dessas fórmulas. Mas (pq) → (r ∨ (pq)) também tem a forma de uma condicional e, consequentemente, também é uma dessas fórmulas.

Eliminação da conjunção (E∧)

Dada uma linha da forma AB, tanto podemos inferir A como B. O resultado depende de AB, caso esta linha seja uma premissa ou uma suposição. Caso contrário, depende das mesmas premissas ou suposições de que AB depender. Esta regra corresponde à nossa intuição semântica de que se for verdade que Cavaco Silva é irritante e Salazar era um ditador, Salazar era um ditador. Eis um exemplo da aplicação da regra:

Prem (1) pq  
1 (2) p 1 E∧

Na coluna 4, a coluna da justificação, indicamos o número da linha a que aplicamos a regra, 1, e indicamos a regra aplicada, E∧.

Introdução da conjunção (I∧)

Dada uma linha da forma A e outra linha da forma B, tanto podemos inferir AB como BA. O resultado depende de A e de B (caso sejam premissas ou suposições) ou das premissas ou suposições de que A e B dependerem. Esta regra corresponde à nossa intuição semântica de que se for verdade que Portugal é um país culturalmente atrasado e se for também verdade que Heidegger era nazi, será verdade que Portugal é um país culturalmente atrasado e que Heidegger era nazi. Por exemplo:

Prem (1) p  
Prem (2) q  
1,2 (3) pq 1,2 I∧

Na coluna 4, a coluna da justificação, indicamos o número das linhas a que aplicamos a regra, 1 e 2, e indicamos a regra aplicada, E∧.

Repare-se que a nossa regra autoriza-nos a usar duas vezes o mesmo passo. Podemos, pois, derivar o seguinte:

Prem (1) p  
1 (2) pp 1,1 I∧

Eliminação da negação (E¬)

Dada uma linha da forma ¬¬A podemos inferir A. A conclusão ficará a depender de ¬¬A (caso esta seja uma premissa ou uma suposição) ou das premissas ou suposições de que ¬¬A depender. Esta regra corresponde à nossa intuição semântica de que se não for verdade que a filosofia não é aborrecida, será verdade que a filosofia é aborrecida. Por exemplo:

Prem (1) ¬¬p  
1 (2) p 1 E¬

Justificamos o nosso raciocínio na coluna 4, indicando que usámos a regra E¬ sobre o passo 1.

Os intuicionistas recusam esta regra, por acharem que nem sempre podemos concluir que Pedro é corajoso só porque ele nunca mostrou que não o era. Por causa desta recusa, têm de introduzir uma regra adicional, a chamada regra da falsidade, que lhes permitirá fazer inferências por reductio.

Introdução da negação (I¬)

Esta regra é ligeiramente menos óbvia do que as anteriores. A ideia geral é a seguinte: se no decorrer de um raciocínio alcançarmos uma contradição, podemos negar qualquer uma das premissas da qual essa contradição dependa. Isto corresponde à nossa intuição semântica segundo a qual se numa conversa alguém afirmar que o João está no cinema e não está no cinema, podemos negar qualquer uma das premissas que o nosso interlocutor usou para alcançar tão profunda conclusão.

Dada uma linha da forma B ∧ ¬B que dependa da uma suposição A, podemos concluir ¬A. A nossa conclusão já não irá depender de A; dependerá apenas das outras premissas ou suposições de que B ∧ ¬B eventualmente depender. Por exemplo, podemos derivar o sequente pq ⊢ ¬(p ∧ ¬q) do seguinte modo:

Prem (1) pq  
Sup (2) p ∧ ¬q  
2 (3) p 2 E∧
1,2 (4) q 1,3 E→
2 (5) ¬q 2 E∧
1,2 (6) q ∧ ¬q 4,5 I∧
1 (7) ¬(p ∧ ¬q) 2,6 I¬

Justificamos o nosso raciocínio do passo (7) afirmando que estamos a negar a fórmula do passo (2) com base na contradição deduzida no passo (6).

Este estilo de raciocínio é conhecido desde a antiguidade clássica e recebeu o nome definitivo na idade média: reductio ad absurdum. Todavia, o seu funcionamento é diferente daquele que ocorre nos sistemas axiomáticos. Num sistema axiomático, a partir do momento em que chegamos a uma contradição, podemos negar qualquer uma das fórmulas anteriores. No nosso caso, só podemos negar aquela suposição da qual a contradição dependa. Repare-se na seguinte derivação errada (em muitos sistemas de dedução natural esta derivação não é errada, pois não se exige que a contradição dependa da premissa a negar):

Prem (1) p  
Prem (2) ¬p  
Sup (3) ¬q  
1,2 (4) p ∧ ¬p 1,2 I∧
1,2 (5) ¬¬q 3,4 I¬

O erro do passo (5), no sistema que estamos a apresentar, consiste no facto de, com base na contradição da linha (4), termos negado a fórmula (3); no entanto, a contradição não dependia de (3). Por isso, a derivação está errada. No entanto, uma derivação análoga a esta seria correcta num sistema axiomático e em outros sistemas de dedução natural.

A nossa “derivação” anterior procurava mostrar que de premissas contraditórias tudo se segue: p, ¬pq. Mas porque só podemos negar um passo do qual a contradição dependa, a derivação correcta deste resultado tem de ser a seguinte:

Prem (1) p  
Prem (2) ¬p  
Sup (3) ¬q  
1,2 (4) p ∧ ¬p 1,2 I∧
1,2,3 (5) (p ∧ ¬p) ∧ ¬q 3,4 I∧
1,2,3 (6) p ∧ ¬p 5 E∧
1,2 (7) ¬¬q 3,6 I¬
1,2 (8) q 7 E¬

Repare-se que, à excepção das premissas e suposições, no sistema de Newton-Smith, cada passo de uma derivação representa um sequente válido. Na derivação anterior, o passo (4) representa o sequente p, ¬pp ∧ ¬p. O passo (7) representa o sequente p, ¬p ⊢ ¬¬q.

Muitos sistemas de lógica não exigem que o passo a negar, ao encontrar uma contradição, dependa dessa contradição. Isto acontece porque, como vimos, a introdução e a eliminação da conjunção nos permite sempre fazer depender qualquer passo de uma derivação de qualquer outro. No entanto, se mantivermos a nossa exigência, somos obrigados a tornar explícito o que de outro modo fica apenas implícito.

Eliminação da condicional (E→)

Dada uma linha da forma A e uma outra da forma AB, podemos inferir B. A nossa conclusão dependerá das mesmas premissas e suposições de que A e AB dependerem, ou delas mesmas, caso se trate de premissas ou suposições. Esta regra corresponde ao modus ponens, uma das regras mais amplamente usadas em todos os sistemas dedutivos.

A regra corresponde à nossa intuição de que se for verdade que se o João estiver em Paris, estará em França e se for verdade que ele efectivamente está em Paris, então teremos a garantia de que ele está em França. Por exemplo:

Prem (1) p  
Prem (2) pq  
1,2 (3) q 1,2 E→

Na coluna da justificação invocamos as duas premissas usadas e citamos a regra.

Introdução da condicional (I→)

A sintaxe desta regra é fácil de perceber e aplicar e é uma das mais úteis nos sistemas de dedução natural. Todavia, a sua justificação semântica não é fácil de perceber, pois implica já alguma familiaridade com a lógica.

Dada uma linha de uma derivação que dependa de uma suposição A e afirme B, podemos inferir AB. Por exemplo:

Prem (1) q  
Sup (2) p  
1,2 (3) p ∧ q 1,2 I∧
1 (4) p → (pq) 2,3 I→

Dado que o passo (3) depende de (2), podemos concluir que a fórmula do passo (2) implica a fórmula do passo (3). A nossa nova fórmula já não depende de (2), mas apenas de (1).

Esta regra é muito usada nas derivações cuja conclusão seja uma condicional. Repare-se que o sequente demonstrado acima é o seguinte: qp → (pq). A conclusão do sequente é uma condicional cuja antecedente foi introduzida na derivação anterior como uma suposição que depois eliminámos através da regra I→.

Eliminação da disjunção (E∨)

Juntamente com a regra da eliminação do quantificador existencial, esta é a regra mais subtil dos sistemas de dedução natural. é por isso útil usar dispositivos visuais (enquadramentos) que ajudem a perceber e a controlar as nossas derivações.

A justificação semântica da regra é fácil de perceber. Se alguém afirmar que o João está em Paris ou em Londres, podemos concluir que ele está na Europa. Porquê? Porque se estiver em Paris, podemos concluir que está na Europa; e se estiver em Londres podemos também concluir que está na Europa; portanto, em qualquer caso, estará na Europa.

Dada uma fórmula da forma AB, podemos concluir C, caso C se derive independentemente de A e de B. A nossa conclusão, C, dependerá unicamente de AB e de quaisquer outras premissas usadas nas duas demonstrações de C, excepto de A e de B. Por exemplo:

Prem (1) (pq) ∨ (qr)  
Sup (2) pq  
2 (3) q 2, E∧
Sup (4) qr  
4 (5) q 4, E∧
1 (6) q 1,2,3,4,5 E∨

Na coluna 4, justificamos o nosso raciocínio com base no facto de a disjunção do passo (1) possibilitar as duas subderivações, (2)-(3) e (4)-(5). Na coluna das dependências registamos as suposições e premissas das quais (1), (3) e (5) dependem, excepto (2) e (4). No nosso caso, ficamos apenas a depender de (1). Mas se o nosso passo (5) dependesse de uma outra premissa qualquer, n, que não fosse (4), o passo (6) ficaria a depender de 1 e de n.

Os enquadramentos mostram claramente que as duas derivações de q são independentes: na coluna das dependências de (5) não pode surgir a suposição (2). Esta restrição significa que a segunda derivação de q não pode depender da suposição (2). Por outro lado, tanto (3) como (5) têm de depender das duas suposições respectivas. Isto significa que, como afirma a regra, q deriva de pq e deriva também de qr.

Introdução da disjunção (I∨)

Dada uma fórmula da forma A, tanto podemos inferir AB como BA. A nossa conclusão ficará a depender unicamente de A, caso se trate de uma premissa ou suposição, ou das premissas ou suposições das quais A depender, caso contrário.

é fácil compreender a justificação semântica desta regra. Se for verdade que está a chover, a previsão que fiz ontem de que hoje iria chover ou fazer muito vento terá sido verdadeira.

Eis um exemplo de aplicação da regra:

Prem (1) p  
1 (2) pq 1 I∨

Eliminação da bicondicional (E↔)

Dada uma fórmula da forma AB podemos inferir (AB) ∧ (BA). A nossa conclusão irá depender de AB ou das premissas ou suposições de que A ↔ B depender. Esta regra corresponde perfeitamente à semântica intuitiva da expressão “se, e só se”. Por exemplo:

Prem (1) pq  
1 (2) (pq) ∧ (qp) 1 E↔

Introdução da bicondicional (I↔)

Dada uma fórmula da forma AB e uma outra da forma BA, podemos inferir A ↔ B. A nossa conclusão dependerá das duas fórmulas referidas, ou das premissas ou suposições de que elas dependerem. Por exemplo:

Prem (1) pq  
Prem (2) qp  
1,2 (3) pq 1,2 I↔

Concluímos assim a apresentação das regras de eliminação e introdução dos operadores proposicionais. Precisamos agora de apresentar as regras de introdução e eliminação dos quantificadores para dar conta do fragmento predicativo da lógica clássica.

Usaremos letras como A, B para referir arbitrariamente qualquer fórmula, t, u para referir qualquer termo (um nome próprio ou um nome arbitrário). Usaremos ainda letras como a, b como nomes arbitrários, m, n como nomes próprios e F, G como predicados. Por exemplo, At refere uma qualquer fórmula A com pelo menos uma ocorrência de um termo t, como Fa ou Fn. Letras como x, y serão usadas como variáveis, que serão ligadas pelos quantificadores habituais, ∀ e ∃.

Eliminação do quantificador universal (E∀)

Dada uma fórmula da forma ∀x Ax, podemos inferir At. t tanto pode ser um nome arbitrário, a, como um nome próprio, n; mas, em qualquer caso, tem de substituir todas as ocorrências de x em Ax. Por exemplo:

Prem (1) x Fxm  
Prem (2) y (GyFy)  
1 (3) Fnm 1 E∀
2 (4) Gn ∧ Fn 2 E∀
1,2 (5) (GnFn) ∧ Fnm 3,4 I∧

Ao justificar a regra citamos a linha à qual a estamos a aplicar. O resultado da aplicação da regra ficará a depender da fórmula de partida, ou das premissas ou suposições das quais aquela depende.

Esta regra é fácil de usar e a sua semântica é bastante fácil de perceber. Se todas as pessoas são mortais, podemos com segurança afirmar que Salazar, que era, tangencialmente, uma pessoa, era, felizmente, mortal.

Introdução do quantificador universal (I∀)

Esta regra é um pouco mais subtil, em resultado do papel reservado aos nomes arbitrários, algo que no nosso quotidiano usamos sem reparar. Trata-se de um dispositivo muito útil. A ideia é a seguinte: imagine que estamos a fazer um estudo sociológico sobre os membros da Sociedade Portuguesa de Filosofia. Queremos fazer uma série de raciocínios acerca de tão distinta população, mas não queremos estar sempre a afirmar “Todos os membros da SPF...” Por isso, acabamos por dizer coisas como: “o membro da SPF que não tiver as quotas em dia não pode votar na assembleia geral”. é claro que não estamos a falar de um membro específico; estamos a falar de qualquer um. Em lógica, para evitar confusões, fazemos como em geometria: usamos um nome arbitrário em vez da expressão “o”, que corre o risco de confundir-se com uma descrição definida.

Ao chegar à conclusão do nosso estudo sobre os hábitos dos membros da SPF, podemos querer eliminar o uso elíptico de “o” e dizer explicitamente: todos os membros da SPF têm direito a assistir às conferências, seminários e outras actividades da SPF. Por outras palavras, queremos substituir um nome arbitrário por um quantificador universal. Por exemplo:

Prem (1) x (FxGx)  
Prem (2) x Fx  
1 (3) FaGa 1 E∀
2 (4) Fa 2 E∀
1,2 (5) Ga 3,4 E→
1,2 (5) x Gx 5 I∀

A partir do passo (3) começámos a falar dos F e dos G usando nomes arbitrários. Depois de concluirmos algo de importante, resolvemos afirmá-lo mais claramente, reintroduzindo o quantificador universal que tínhamos eliminado antes.

Dada uma fórmula da forma Aa, podemos inferir ∀x Ax, desde que Aa não seja uma premissa nem uma suposição, nem dependa de nenhuma premissa ou suposição na qual ocorra o nome arbitrário a. O sentido destas restrições é garantir que estamos a introduzir o quantificador universal numa ocorrência estritamente arbitrária de um nome — não queremos inferir que todos os sócios da SPF são louros só porque o Fernando Ferreira é louro.

Ao concluir ∀x Ax a partir de Aa, temos de substituir todas as ocorrências de a por x. O resultado da introdução do quantificador universal dependerá das premissas ou suposições das quais Aa depender.

Introdução do quantificador existencial (I∃)

Esta é a regra mais simples e óbvia do fragmento predicativo da dedução natural. Corresponde à nossa intuição semântica segundo a qual se for verdade que o Cavaco Silva é antipático, podemos concluir que alguém é antipático, o tipo de pensamento que não apetece nada ter às segundas-feiras de manhã. Mas é claro que podemos tirar a mesma conclusão, ainda que estejamos a usar um nome arbitrário, em vez de um nome próprio.

A formulação da regra é assim a seguinte: dada uma fórmula da forma At, podemos inferir ∃x Ax. t tanto pode ser um nome arbitrário, a, como um nome próprio, n. A nossa conclusão dependerá de At, ou das premissas ou suposições de que At depender. Por exemplo:

Prem (1) Fn  
Prem (2) Ga  
1 (3) x Fx 1 I∃
2 (4) y Gy 2 I∃
1,2 (5) x Fx ∧ ∃y Gy 3,4 I∧

Ao contrário do que acontecia no caso do quantificador universal, não temos de substituir todas as ocorrências de t por x ao introduzir o quantificador existencial; podemos substituir só algumas. Se tivermos uma fórmula como Fnn, podemos concluir ∃x Fxn.

Eliminação do quantificador existencial (E∃)

Esta regra é a mais subtil de toda a dedução natural e é fácil de perceber porquê. é claro que do facto de alguém ser antipático não podemos concluir que Heidegger era antipático; talvez ele fosse um nazi excepcionalmente risonho. Para garantir que não chegamos a conclusões disparatadas a partir de premissas razoáveis temos de introduzir várias restrições à eliminação do quantificador existencial.

Para compreender a regra é útil começar por apresentar um exemplo do seu uso:

Prem (1) x (FxGx)  
Sup (2) FaGa  
2 (3) Fa 2 E∧
2 (4) x Fx 3 I∃
1 (5) x Fx 1,2,4 E∃

Em primeiro lugar, repare na semelhança relativamente à regra E∨ : uma vez mais, temos enquadramentos e uma vez mais temos uma conclusão geral que repete uma conclusão surgida numa subderivação. A suposição (2) resulta da substituição de todas as ocorrências de x por a na fórmula do passo (1). O passo (4) depende de (2), mas já não contém nenhuma ocorrência de a. Além disso, à excepção da suposição (2), (4) não depende de nenhuma premissa ou suposição na qual a ocorra. Nestas condições, podemos inferir (5), dependendo da premissa que deu origem à suposição (2) e de todas as premissas das quais (4) dependa, excepto (2).

A formulação da regra é, pois a seguinte: dada uma fórmula da forma ∃x Ax, introduza-se Aa como suposição, substituindo-se em Aa todas as ocorrências de x por um nome arbitrário, a. Derive-se agora C a partir de Aa. Podemos concluir C, sem depender de Aa, desde que se respeitem as seguintes condições:

  1. C depende de Aa (é isso que significa dizer que derivámos C a partir de Aa)
  2. C não contém nenhuma ocorrência de a.
  3. C não depende de nenhumas premissas ou suposições que contenham a, excepto Aa.
  4. A nossa conclusão geral ficará a depender de ∃x Ax e de todas as premissas de que C depender, excepto Aa.

No caso da nossa derivação ilustrativa, C era ∃x Fx. Isto pode gerar a confusão, uma vez que estamos a usar a regra da eliminação do quantificador existencial para concluir uma derivação que contém um quantificador existencial. Temos de compreender que o que conta é que alcançámos uma conclusão a partir de uma suposição que eliminou o quantificador existencial de (1). Podíamos ter chegado a uma conclusão sem quantificador existencial. Por exemplo:

Prem (1) x Fx  
Sup (2) x ¬Fx  
Sup (3) ¬Fa  
1 (4) Fa 1 E∀
1,3 (5) Fa ∧ ¬Fa 3,4 I∧
3 (6) ¬∀x Fx 1,5 I¬
2 (7) ¬∀x Fx 2,3,6 E∃
1,2 (8) x Fx ∧ ¬∀x Fx 1,7 I∧
1 (9) ¬∃x ¬Fx 2,8 I¬

Terminámos assim a apresentação do fragmento predicativo da dedução natural. Resta-nos apresentar mais duas regras, que alargam o poder da nossa lógica de um modo particularmente útil à filosofia, sobretudo à metafísica. Refiro-me às regras da introdução e eliminação da identidade, que são muito simples.

Introdução da identidade (I=)

Qualquer objecto é idêntico a si próprio. Logo, a frase de identidade, a = a, ou n = n, pode ser introduzida em qualquer passo da nossa derivação, sem depender de nenhumas premissas. Por exemplo:

Sup (1) Fn  
  (2) n = n I=
1 (3) Fnn = n 1,2 I∧
  (4) Fn → (Fnn = n) 1,3 I→

Repare-se que ao usar o passo (2) não ficamos na sua dependência.

Eliminação da identidade (E=)

Dada uma fórmula t = u, sendo t e u nomes próprios, e dada outra fórmula qualquer na qual ocorra t, como At, podemos inferir Au. Au resulta de At por substituição de pelo menos uma ocorrência de u em Au por t. A nossa conclusão dependerá de t = u e de At, ou das premissas ou suposições de que elas dependerem. Por exemplo:

Prem (1) m = n  
Prem (2) Fm  
1,2 (3) Fn 1,2 E=

Esta regra corresponde à nossa intuição de que se for verdade que António Gedeão é Rómulo de Carvalho, tudo o que for verdade de António Gedeão será verdade de Rómulo de Carvalho.

Apesar de esta regra ser de uma clareza irrepreensível há contextos nos quais a sua aplicação dá origem a falácias. Chamam-se intensionais a esses contextos.

Concluímos assim a apresentação das regras primitivas de dedução natural para a lógica clássica. Com estas regras apenas é possível gerar demonstrações económicas de alguns dos teoremas mais importantes da lógica e de algumas das formas mais comuns de argumentos dedutivos. No entanto, podemos acrescentar a estas regras primitivas uma regra de inserção de teoremas que nos permitirá introduzir em qualquer derivação qualquer teorema da lógica clássica, o que permitirá obter resultados ainda mais económicos. Podemos também introduzir uma regra de introdução de sequentes que nos permitirá introduzir qualquer sequente derivável no decurso de uma derivação.

Além de oferecer demonstrações geralmente bastante mais económicas do que as demonstrações dos sistemas axiomáticos, os sistemas de dedução natural têm outras vantagens. Uma das mais importantes é o facto de tornar evidente que a lógica não consiste (ou, pelo menos, não consiste apenas) no estudo das verdades lógicas, mas antes no estudo da inferência dedutiva. A sua importância filosófica torna-se assim irrecusável, uma vez que grande parte dos argumentos dos filósofos são dedutivos.

Para terminar, resta-nos referir algumas variações no estilo de demonstrações em dedução natural. Alguns autores indicam as dependências, na coluna 1, entre colchetes, {}, transmitindo assim a ideia de que estão a apresentar o conjunto de dependências. Esta prática tem a vantagem de tornar ainda mais claro o facto de na dedução natural cada passo de uma demonstração exibir um sequente válido, uma vez que um sequente como p, pqq é constituído por um conjunto de premissas: {p, pq}.

Outra variação menor diz respeito à indicação das suposições e premissas. Alguns autores não distinguem premissas de suposições. Outros autores indicam a presença de premissas não na coluna 1, como nós, mas na coluna 4. Na coluna 1 colocam o número do passo no qual estamos a introduzir a própria premissa ou suposição. Este método tem vantagens na exposição das regras.

Os enquadramentos usados nas regras E∃ e E∨ não são usados por muitos autores, mas são uma ajuda preciosa para o estudante. Por outro lado, alguns autores suprimem a coluna 1, substituindo-a por traços verticais que indicam as dependências em causa. Outros ainda fazem todas as derivações dentro de caixas, de modo que as dependências são imediatamente visíveis. Qualquer que seja a variação, o método de dedução natural revela-se um instrumento filosófico flexível e imprescindível.

Desidério Murcho
desiderio@ifac.ufop.br

Retirado de Enciclopédia de Termos Lógico-Filosóficos, org. João Branquinho e Desidério Murcho (Gradiva, 2001)

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