A Solução do Último Teorema de Fermat

Uma história de 358 anos

Pedro Galvão
A Solução do Último Teorema de Fermat, de Simon Singh
Tradução de António Manuel Baptista
Relógio d'Água, 1998, 336 pp.

No final do Verão de 1994, depois de oito anos de trabalho intenso, o matemático Andrew Wiles estava disposto a admitir a derrota. O último teorema de Fermat parecia ter ficado uma vez mais por demonstrar. No ano anterior, Wiles apresentara à comunidade científica a sua demonstração, um resultado brilhante de sete anos de investigação solitária que fornecera à matemática novas técnicas e estratégias para abordar problemas. Mas havia um erro nessa demonstração. De início tinha parecido um erro menor, mas foi resistindo a todas as tentativas de correcção à medida que os meses passavam. Resignado, Wiles procurava compreender as razões da sua derrota. Teve então "essa incrível revelação". Subitamente, entendeu que se conciliasse duas teorias que antes só abordara isoladamente, o problema ficaria resolvido. E assim conseguiu demonstrar o teorema de Fermat.

Este foi o final feliz de uma história intrincada, uma longa história de 358 anos que Simon Singh nos dá a conhecer em "A Solução do Último Teorema de Fermat". Na verdade, Singh ocupa-se de um período ainda maior, pois acompanha a história da matemática desde Pitágoras, mas o enigma central do livro surgiu apenas com Pierre Fermat no século XVII. Fermat tinha uma tendência irritante para não divulgar o seu trabalho. Como muitos matemáticos do seu tempo, gostava de manter secretas as demonstrações que realizava. Numa margem do seu exemplar da "Aritmética" de Diofanto, escreveu uma afirmação que o celebrizou: "Tenho uma demonstração maravilhosa desta proposição que esta margem é demasiado estreita para conter." Dessa demonstração não ficaram quaisquer vestígios e a proposição em causa tornou-se conhecida por "último teorema de Fermat". O teorema que Fermat alegou ter demonstrado é muito simples. Ele diz-nos apenas que a equação xn + yn = zn não tem soluções com números inteiros quando n é maior do que 2. Quando n é igual a 2 isso não acontece, como podemos ver através do exemplo 32 + 42 = 52. Mas, disse Fermat, se n for maior do que 2, não encontraremos no conjunto infinito dos números inteiros uma única solução para a equação indicada. Como se pode saber tal coisa? Esse foi o grande problema que gerações de matemáticos enfrentaram sem sucesso. Realizaram-se alguns avanços notáveis que produziram novas técnicas e instrumentos matemáticos, mas quem tentou demonstrar o teorema de Fermat em toda a sua generalidade acabou por fracassar. Há cerca de 20 anos, no entanto, deu-se um desenvolvimento inesperado. Demonstrou-se que, se uma importante conjectura apresentada por dois matemáticos japoneses fosse verdadeira, o teorema de Fermat também seria verdadeiro. O desafio de Wiles foi assim o de demonstrar essa conjectura e ao fazê-lo conseguiu validar não só o teorema de Fermat, mas toda a matemática que nele se apoiava.

Com o livro de Singh, não podemos esperar compreender em profundidade a demonstração de Wiles. Só um décimo dos especialistas em teoria dos números consegue compreendê-la plenamente. No entanto, com um mínimo de recursos técnicos, Singh envolve-nos nas principais estratégias, dificuldades e surpresas que estiveram presentes nas tentativas de resolver o enigma de Fermat. Desta maneira, familiariza o leitor com formas de raciocínio importantes, como a redução ao absurdo e a indução matemática, e deixa também bem clara a especificidade do conhecimento matemático. Para além disso, o livro apresenta uma grande diversidade temática, pois Singh, sem nunca perder de vista o tema principal, realiza inúmeras incursões interessantes que afastam a possibilidade de a leitura de tornar enfadonha. A propósito do contributo de Sophie Germain, por exemplo, considera-se o lugar das mulheres na história da matemática e as dificuldades que estas encontraram, e a propósito de Turing somos conduzidos aos métodos de decifração de códigos durante a Segunda Guerra Mundial. O último capítulo, que incide em grande parte na controvérsia sobre o uso de computadores na realização de demonstrações, conclui o livro com a mesma frescura das primeiras páginas.

Pedro Galvão

Publicado originalmente no jornal Público
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