História Concisa da Filosofia Ocidental, de Anthony Kenny
6 de Outubro de 2009 ⋅ Lógica

A lógica e os fundamentos da matemática

Anthony Kenny
Universidade de Oxford

A lógica de Frege

O acontecimento mais importante na história da filosofia do século XIX foi a invenção da lógica matemática. Não se tratou apenas de fundar de novo a própria ciência da lógica; foi algo que teve igualmente consequências importantes para a filosofia da matemática, para a filosofia da linguagem e, em última análise, para a compreensão que o filósofos têm sobre a natureza da própria filosofia.

O principal fundador da lógica matemática foi Gottlob Frege. Nascido na costa báltica alemã em 1848, Frege (1848-1925) doutorou-se em Filosofia em Göttingen e ensinou na Universidade de Jena de 1874 até se reformar, em 1918. Excepto no que respeita à actividade intelectual, a vida de Frege foi rotineira e isolada; o seu trabalho foi pouco lido enquanto viveu, e mesmo depois da sua morte só exerceu influência por intermédio dos escritos de outros filósofos. Mas gradualmente foi-se reconhecendo que Frege foi o maior de todos os filósofos da matemática e que, como filósofo da lógica, foi comparável a Aristóteles. A sua invenção da lógica matemática foi uma das maiores contribuições para os desenvolvimentos, em diversas disciplinas, que estiveram na origem da invenção dos computadores. Dessa forma, Frege afectou as vidas de todos nós.

A produtiva carreira de Frege começou em 1879 com a publicação de um opúsculo intitulado Begriffschrift, ou Escrita Conceptual. A escrita conceptual que deu o título ao livro consistia num novo simbolismo concebido com o fim de exibir claramente as relações lógicas escondidas na linguagem comum. A notação de Frege, logicamente elegante mas tipograficamente incómoda, já não é usada em lógica simbólica; mas o cálculo por ele formulado constitui desde então a base da lógica moderna.

Em vez de fazer da silogística aristotélica a primeira parte da lógica, Frege atribuiu esse lugar a um cálculo inicialmente explorado pelos estóicos: o cálculo proposicional, ou seja, o ramo da lógica que trata das inferências que assentam na negação, conjunção, disjunção, etc., quando aplicadas a frases declarativas no seu todo. O seu princípio fundamental — que remonta igualmente aos estóicos — consiste em considerar que os valores de verdade (isto é, verdadeiro ou falso) das frases declarativas que contêm conectivos como "e", "se", "ou", são determinados apenas pelos valores de verdade das frases ligadas pelos conectivos — da mesma forma que o valor de verdade da frase "João é gordo e Maria é magra" depende apenas dos valores de verdade de "João é gordo" e de "Maria é magra". As frases compostas, no sentido técnico dos lógicos, são tratadas como funções de verdade das frases simples que entram na sua composição. O Begriffschrift de Frege contém a primeira formulação sistemática do cálculo proposicional; este é apresentado sob uma forma axiomática, na qual todas as leis da lógica são derivadas, por meio de regras de inferência, a partir de um certo número de princípios primitivos.

A maior contribuição de Frege para a lógica foi a sua invenção da teoria da quantificação; isto é: um método para simbolizar e exibir rigorosamente as inferências cuja validade depende de expressões como "todos" ou "alguns", "qualquer" ou "cada um", "nada" ou "nenhum". Este novo método permitiu-lhe, entre outras coisas, reformular a silogística tradicional.

Existe uma analogia entre a inferência

Todos os homens são mortais.
Sócrates é um homem.
Logo, Sócrates é mortal.

e a inferência

Se Sócrates é um homem, Sócrates é mortal.
Sócrates é um homem.
Logo, Sócrates é mortal.

A segunda é uma inferência válida no cálculo proposicional (se p, então q; dado que p, segue-se que q). Mas nem sempre pode ser considerada uma tradução da primeira inferência, uma vez que a sua primeira premissa parece afirmar algo acerca de Sócrates em particular, ao passo que se "Todos os homens são mortais" for verdadeira, então

Se x é um homem, x é mortal.

será verdadeira independentemente do nome que substituir a variável x. De facto, esta frase continuará a ser verdadeira mesmo que x seja substituída por um nome que não designe homem algum, uma vez que nesse caso a antecedente é falsa e, de acordo com as regras verofuncionais para frases declarativas condicionais, a frase na sua totalidade será verdadeira. Assim, podemos exprimir a proposição tradicional

Todos os homens são mortais.

desta forma:

Para todo o x, se x é um homem, x é mortal.

Esta reformulação constitui a base da teoria da quantificação de Frege; para vermos como isso acontece, temos que explicar de que forma Frege concebeu cada um dos elementos que contribuem para formar uma frase complexa.

Frege introduziu a terminologia da álgebra na lógica. Pode dizer-se que uma expressão algébrica como x/2 + 1 representa uma função de x; o valor do número representado pela expressão na sua globalidade dependerá da substituição que se fizer para a variável x, ou, em terminologia técnica, do argumento que tomarmos para a função. Assim, o valor da função é 3 se o argumento for 4, e é 4 se o argumento for 6. Frege aplicou esta terminologia (argumento, função, valor) tanto a expressões da linguagem comum como a expressões em notação matemática. Substituiu as noções gramaticais de sujeito e de predicado pelas noções matemáticas de argumento e de função e, a par dos números, introduziu os valores de verdade como valores possíveis de expressões. Assim, "x é um homem" representa uma função que toma o valor verdadeiro para o argumento "Sócrates" e o valor falso para o argumento "Vénus". A expressão "para todo o x", que introduz a frase anterior, diz, em termos fregianos, que o que se lhe segue ("se x é um homem, x é mortal") é uma função verdadeira para qualquer argumento. A uma expressão deste tipo chama-se "quantificador".

Além de "para todo o x", o quantificador universal, existe também o quantificador particular "para algum x", que diz que o que se lhe segue é verdadeiro para pelo menos um argumento. Então, "alguns cisnes são pretos" pode representar-se num dialecto fregiano como "para algum x, x é um cisne e x é preto". Pode considerar-se que esta frase é equivalente a "existem coisas que são cisnes pretos"; e, na verdade, Frege usou o quantificador particular para representar a existência. Assim, "Deus existe" ou "há um Deus" é representada no seu sistema por "para algum x, x é Deus".

O uso da sua nova notação para a quantificação permitiu a Frege apresentar um cálculo que formalizou a teoria da inferência de uma forma mais rigorosa e mais geral do que a tradicional silogística aristotélica, a qual, até à época de Kant, fora considerada o supra-sumo da lógica. Depois de Frege, a lógica formal podia, pela primeira vez, lidar com argumentos que envolviam frases com quantificação múltipla, frases que eram, por assim dizer, quantificadas em ambos os extremos, tais como "ninguém conhece toda a gente" e "qualquer criança em idade escolar pode dominar qualquer língua".

O logicismo de Frege

No Begriffschrift e nos escritos que se lhe seguiram, Frege não estava interessado na lógica pela lógica. O que o levara à construção da nova escrita conceptual fora o uso desta como auxiliar na filosofia da matemática. A questão a que, acima de tudo, queria responder, era esta: será que as demonstrações da aritmética assentam na lógica pura, baseando-se somente em leis gerais vigentes em qualquer esfera do conhecimento, ou precisam do suporte de factos empíricos? Frege respondeu que era possível mostrar que a própria aritmética era um ramo da lógica, no sentido em que podia ser formalizada usando unicamente noções ou axiomas lógicos. Foi nos Grundlagen der Arithmetik que Frege se propôs pela primeira vez estabelecer esta tese, conhecida pelo nome de "logicismo".

Os Grundlagen começam com um ataque às ideias dos contemporâneos e predecessores de Frege (incluindo Kant e Mill) sobre a natureza dos números e da verdade matemática. Kant tinha sustentado que as verdades da matemática eram sintéticas a priori e que o nosso conhecimento delas dependia da intuição. Mill, por outro lado, via as verdades matemáticas como a posteriori, generalizações empíricas largamente aplicáveis e confirmadas. Frege sustentava que as verdades da aritmética não eram de todo em todo sintéticas, nem a priori nem a posteriori. Ao contrário da geometria — a qual, e nisso concordava com Kant, assentava na intuição a priori —, a aritmética era analítica, isto é, podia ser definida em termos puramente lógicos e demonstrada a partir de princípios puramente lógicos.

No sistema de Frege, a noção aritmética de número foi substituída pela noção lógica de "classe": os números cardinais podem ser definidos como classes de classes com o mesmo número de membros; assim, o número dois é a classe dos pares, e o número três a classe dos trios. Apesar das aparências, esta definição não é circular, porque podemos dizer o que significa duas classes terem o mesmo número de membros sem recorrer à noção de número; assim, por exemplo, um criado pode saber que existem numa mesa tantas facas quantos os pratos sem saber o seu número, bastando para tanto observar que há exactamente uma faca à direita de cada prato. Duas classes têm o mesmo número de membros se for possível estabelecer entre elas uma relação biunívoca; tais classes são conhecidas como classes de equivalência. Um número será, então, a classe das classes de equivalência.

Desta forma, podíamos definir o quatro como a classe de todas as classes equivalentes à classe dos evangelistas. Mas uma definição deste tipo seria inútil para o projecto de reduzir a aritmética à lógica, uma vez que o facto de terem existido quatro evangelistas não faz parte da lógica. Para que o seu programa tivesse êxito, Frege foi obrigado a encontrar, para cada número, uma classe cuja dimensão fosse, além de adequada, assegurada pela lógica.

Resolveu começar com o zero. O zero é um número que pode ser definido em termos puramente lógicos como a classe de todas as classes equivalentes à classe de objectos que não são idênticos a si mesmos. Uma vez que não existem objectos não idênticos a si mesmos, essa classe não tem elementos; e, uma vez que classes com os mesmos elementos são a mesma classe, existe só uma classe sem elementos, a chamada "classe vazia". O facto de só existir uma classe vazia é usado ao passar para a definição do número um, que é definido como a classe das classes equivalentes à classe das classes vazias. Dois pode, então, ser definido como a classe das classes equivalentes à classe cujos elementos são zero e um, três como a classe das classes equivalentes à classe cujos elementos são zero, um e dois, e assim sucessivamente ad infinitum. Assim, a série dos números naturais constrói-se a partir das noções puramente lógicas de identidade, classe, pertença a uma classe e equivalência entre classes.

Nos Grundlagen, Frege atribui grande importância a duas teses. Uma é a de que cada número é um objecto auto-subsistente; a outra é a de que o conteúdo das asserções onde se faz a atribuição de números são asserções sobre conceitos. À primeira vista pode parecer que estas teses estão em conflito, mas se compreendermos o que Frege entendia por "conceito" e "objecto", veremos que são complementares. Ao dizer que um número é um objecto, Frege não está a sugerir que um número seja algo tangível como uma árvore ou uma mesa; está apenas a negar que um número seja uma propriedade pertencente a alguma coisa, indivíduo ou colecção. Ao dizer que um número é um objecto auto-subsistente, Frege está a dizer que não se trata de uma entidade subjectiva, de algo mental ou de uma propriedade de algo mental. Para Frege os conceitos são platónicos, entidades independentes da mente, e dessa forma não existe contradição entre a tese que afirma que os números são objectivos e a tese que afirma que as asserções numéricas são asserções sobre conceitos. Frege ilustra esta última tese com dois exemplos.

Se eu disser "Vénus tem 0 luas", não existe absolutamente lua alguma nem aglomeração de luas sobre a qual se possa afirmar coisa alguma; mas de facto está a ser atribuída uma propriedade ao conceito "lua de Vénus", nomeadamente a propriedade que nada cai sob esse conceito. Se eu disser "a carruagem do rei é puxada por quatro cavalos", estou a atribuir o número quatro ao conceito "cavalo que puxa a carruagem do rei".

As asserções de existência, diz Frege, são um caso particular das asserções numéricas. "Uma afirmação de existência", afirma, "não é de facto mais do que a negação do número zero". O que Frege quer dizer é que uma frase como "os anjos existem" é uma asserção de que o conceito anjo é atribuível a alguma coisa. E dizer que um conceito é atribuível a alguma coisa é dizer que o número que pertence a esse conceito é diferente de zero.

Segundo Frege, o argumento ontológico sobre a existência de Deus soçobra precisamente porque a existência é uma propriedade de conceitos. A propriedade de existir um Deus não pode ser uma propriedade de Deus; se de facto existe um Deus, essa propriedade pertence ao conceito Deus.

Se as asserções numéricas são asserções sobre conceitos, que tipo de objecto é um número? Frege responde que um número é a extensão de um conceito. O número que pertence ao conceito F, afirma Frege, é a extensão do conceito "igual em número ao conceito F". Isto equivale a dizer que é a classe de todas as classes que têm o mesmo número de elementos que a classe dos F, como foi explicado acima. Assim, a teoria de Frege de que os números são objectos depende da possibilidade de considerar as classes como objectos.

A filosofia da lógica de Frege

Veremos que a filosofia da matemática de Frege está intimamente ligada ao modo como ele entende vários conceitos-chave de lógica e de filosofia; e, na verdade, no Begriffschrift e nos Grundlagen, Frege não só fundou a lógica moderna, mas também a disciplina filosófica moderna de filosofia da lógica. Fê-lo ao traçar um distinção clara entre o tratamento filosófico da lógica e, por um lado, a psicologia (com a qual fora por vezes confundida pelos filósofos da tradição empirista), e, por outro, a epistemologia (com a qual fora por vezes fundida pelos filósofos da tradição cartesiana). No entanto, não existe na sua obra a mesma distinção clara entre lógica e metafísica; na realidade, as duas estão estreitamente relacionadas.

Frege sustentava que se deve fazer uma distinção sistemática entre conceitos e objectos, correlatos ontológicos dos pólos da distinção linguística correspondente entre funções e argumentos. Os objectos são aquilo que é designado pelos nomes próprios: existem objectos de muitos tipos, desde seres humanos a números. Os conceitos são itens que têm uma incompletude fundamental, que corresponde à lacuna assinalada numa função pela sua variável. Nos pontos em que outros filósofos falavam ambiguamente sobre o significado de uma expressão, Frege introduziu uma distinção entre a referência de uma expressão (o objecto a que se refere: o planeta Vénus é a referência de "Estrela da Manhã") e o sentido de uma expressão. ("A Estrela da Tarde" tem um sentido diferente de "A Estrela da Manhã", apesar de ambas as expressões, como os astrónomos descobriram, se referirem a Vénus.) Frege sustentava que a referência de uma frase é o seu valor de verdade (isto é, verdadeiro ou falso), e também que numa linguagem cientificamente respeitável todos os termos têm de ter uma referência e todas as frases declarativas devem ser ou verdadeiras ou falsas. Muitos filósofos posteriores adoptaram a sua distinção entre sentido e referência, mas a maior parte rejeitou a noção de que as frases completas têm um tipo qualquer de referência.

O auge da carreira de Frege enquanto filósofo deveria ter sido a publicação dos dois volumes de Die Grundgesetze der Arithmetik (1893-1903), nos quais se propunha apresentar com todo o rigor formal a construção logicista da aritmética baseada na lógica pura e na teoria dos conjuntos. Esta obra deveria executar a tarefa esboçada nos anteriores livros sobre filosofia da matemática: deveria enunciar um conjunto de axiomas constituído por verdades reconhecidamente lógicas, propor um conjunto de regras de inferência indiscutivelmente correctas e, então, por meio dessas regras e a partir desses axiomas, apresentar uma a uma as derivações das verdades canónicas da aritmética.

Este magnífico projecto abortou antes de estar completo. O primeiro volume foi publicado em 1893. Quando o segundo volume apareceu, em 1903, tinha-se descoberto que o engenhoso método de Frege para construir a série dos números naturais a partir unicamente de noções lógicas continha uma deficiência fatal. A descoberta devia-se ao filósofo inglês Bertrand Russell.

O paradoxo de Russell

Russell nasceu em 1872. Era neto do primeiro-ministro Lorde John Russell e afilhado de John Stuart Mill. No Trinity College, em Cambridge, aceitou temporariamente uma versão inglesa do idealismo hegeliano. Mais tarde, juntamente com o seu amigo G. E. Moore, abandonou o idealismo, trocando-o por uma filosofia realista extrema que incluía uma visão platónica da matemática. Foi no decurso da redacção de um livro para expor esta filosofia que Russell encontrou as ideias de Frege; quando o livro foi publicado em 1903 com o título The Principles of Mathematics, incluía uma apreciação de tais ideias. Embora admirasse as ideias de Frege, Russell detectou uma falha radical no sistema, que lhe comunicou quando o segundo volume dos Grundgesetze estava no prelo.

Se quisermos progredir de número para número da forma que Frege propõe, devemos ser capazes de formar classes de classes sem restrição, e classes de classes de classes, etc. As classes devem ser elas mesmas classificáveis; devem ter a possibilidade de ser elementos de classes. Ora, pode uma classe ser elemento de si mesma? A maior parte não pode (por exemplo, a classe dos cães não é um cão), mas algumas, aparentemente, podem (por exemplo, a classe das classes é seguramente uma classe). Parece assim que as classes se podem dividir em duas espécies: existe a classe das classes que são elementos de si mesmas, e a classe das classes que não são elementos de si mesmas.

Considere-se agora esta segunda classe: é ela própria elemento de si mesma ou não? Se é elemento de si mesma, então, uma vez que é precisamente a classe das classes que não são elementos de si mesmas, não pode ser elemento de si mesma. Mas, se não é elemento de si mesma, tem a propriedade que a qualifica como elemento da classe das classes que não são elementos de si mesmas, e portanto é elemento de si mesma. Aparentemente, ela deve ser ou não um elemento de si mesma; mas, seja qual for a alternativa que escolhermos, somos obrigados a contradizer-nos.

A esta descoberta chama-se paradoxo de Russell, que mostra existir algo de vicioso ao formar classes de classes ad lib., e compromete todo o programa logicista de Frege.

O próprio Russell estava tão apostado no logicismo quanto Frege e, em colaboração com A. N. Whitehead, empreendeu o desenvolvimento de um sistema lógico usando uma notação diferente da de Frege, no qual se propôs derivar a totalidade da aritmética a partir de uma base puramente lógica. Este trabalho foi publicado entre 1910 e 1913 nos três monumentais volumes que compõem os Principia Mathematica.

Com o fim de evitar o paradoxo que descobrira, Russell formulou uma teoria dos tipos. Era um erro tratar as classes como objectos arbitrariamente classificáveis. As classes e os indivíduos pertencem a tipos lógicos diferentes, e o que pode ser verdadeiro ou falso a respeito de um não pode ser afirmado com sentido sobre o outro. Frases como "A classe dos cães é um cão" devem ser consideradas absurdas e não falsas. Da mesma forma, o que pode dizer-se com sentido sobre classes não pode ser afirmado com sentido sobre classes de classes, e assim sucessivamente ao longo da hierarquia dos tipos lógicos. Se se observar a diferença de tipo entre os diferentes níveis da hierarquia, o paradoxo não surgirá.

Mas surge outra dificuldade em vez do paradoxo. Tendo proibido a formação de classes de classes, como podemos definir a série dos números naturais? Russell conservou a definição de zero como a classe cujo único elemento é a classe vazia, mas passou a tratar o número um como a classe de todas as classes equivalentes à classe cujos elementos são a) os elementos da classe vazia e b) qualquer objecto que não seja elemento dessa classe. O número dois, por seu turno, era tratado como a classe de todas as classes equivalentes à classe cujos elementos são a) os elementos da classe usada para definir um, juntamente com b) qualquer objecto que não seja elemento dessa classe definidora. Desta forma, os números podem ser definidos um após o outro, e cada número é uma classe de classes de indivíduos. Mas a série dos números naturais só pode continuar ad infinitum desta forma se existir um número infinito de objectos no universo; se apenas existirem n indivíduos, então não existem classes com n + 1 elementos — logo, não existe o número cardinal n + 1. Russell aceitou este argumento e em consequência acrescentou aos seus axiomas um axioma do infinito, isto é, a hipótese segundo a qual o número de objectos no universo não é finito. Pode acontecer que, como Russell pensava, esta hipótese seja muitíssimo provável; mas, a julgar pelas aparências, está longe de ser uma verdade lógica; e a necessidade de a postular é então uma mancha na pureza do programa original de derivar a aritmética apenas da lógica.

Quando conheceu o paradoxo de Russell, Frege ficou extremamente abatido. Fez várias tentativas para remendar o seu sistema, que não foram mais bem sucedidas na recuperação do logicismo do que a teoria dos tipos de Russell. Sabemos hoje que o programa logicista não pode jamais ser levado a cabo com sucesso. O caminho a partir dos axiomas da lógica, passando pelos axiomas da aritmética até aos teoremas da aritmética, está obstruído em dois pontos. Primeiro, como o paradoxo de Russell mostrou, a teoria ingénua dos conjuntos, que fazia parte da base lógica de Frege, era em si inconsistente e as soluções que Frege propôs revelaram-se ineficazes. Assim, os axiomas da aritmética não podem ser derivados de axiomas puramente lógicos da forma que Frege esperava. Segundo, a própria noção de "axiomas da aritmética" foi mais tarde posta em questão quando o matemático austríaco Kurt Gödel mostrou que era impossível dotar a aritmética de uma axiomatização completa e consistente ao estilo dos Principia Mathematica. Apesar de tudo, os conceitos e as perspectivas desenvolvidos por Frege e Russell no decurso da exposição da tese logicista continuam a ter interesse em si; e o seu interesse não diminuiu com fracasso daquele programa.

A teoria das descrições de Russell

No seu período realista, quando escreveu The Principles of Mathematics, Russell pensava que, para conservar a objectividade dos conceitos e juízos, era necessário aceitar a existência de ideias platónicas e de proposições que subsistem independentemente da sua expressão em frases. Como Frege, aceitava que os conceitos eram algo independente do nosso pensamento; mas ia mais longe que Frege porque pensava que, além das relações e dos números, também as quimeras e os deuses homéricos tinham alguma forma de ser; de outro modo, seria impossível construir proposições a seu respeito. "Logo, o ser é um atributo geral de tudo, e mencionar algo é mostrar que é".

Na época em que escreveu os Principia Mathematica, já Russell tinha mudado de ideias. Escreveu Russell:

Suponhamos que dizemos "O quadrado redondo não existe". Parece claro que esta proposição é verdadeira, e no entanto não podemos considerá-la como a negação da existência de um determinado objecto chamado "o quadrado redondo". Porque nesse caso o objecto existiria: não podemos assumir primeiro que um objecto existe para depois negar a sua existência. Sempre que, preservando o sentido de uma proposição, podemos supor que o seu sujeito gramatical não existe, é claro que o sujeito gramatical não é um nome próprio, isto é, não é um nome que represente directamente algum objecto. Logo, em todos esses casos deve ser possível analisar a proposição de tal forma que o que antes era sujeito gramatical desapareça. Logo, quando dizemos "O quadrado redondo não existe" podemos, numa primeira tentativa para realizar essa análise, substituir a proposição por "É falso que exista um objecto x que é ao mesmo tempo quadrado e redondo".

Até aqui, esta explicação é semelhante ao método de Frege para tratar as asserções de existência; mas Russell viu que era necessário explicar o sentido de expressões vazias como "o quadrado redondo" e "o actual rei de França" quando ocorriam em contextos diferentes das asserções de existência; por exemplo, na frase "O actual rei de França é calvo". Russell chamou "descrições definidas" a expressões como "o actual rei de França" e "o homem que descobriu o oxigénio". No seu artigo de 1905, On Denoting, produziu uma teoria geral do significado das descrições definidas que daria conta quer dos casos em que existia um objecto que corresponde à descrição (como em "o homem que descobriu o oxigénio"), quer dos casos em que a descrição era vazia (como em "o actual rei de França").

Frege tinha tratado as descrições definidas simplesmente como nomes complexos, de tal forma que "O autor do Hamlet era um génio" tinha a mesma estrutura lógica que "Shakespeare era um génio". Isto obrigava Frege a fornecer regras arbitrárias para assegurar que uma frase com uma descrição definida ou um nome vazio não deixasse de ter um valor de verdade. Russell achou que isto não era satisfatório e propôs-se analisar as frases que contêm descrições definidas de um modo muito diferente das que contêm nomes. Pensava que era um erro procurar o significado das descrições definidas nelas mesmas; só as proposições em cuja expressão verbal elas ocorrem têm significado.

Para Russell, existe uma grande diferença entre uma frase como "Jaime II foi deposto" (que contém o nome "Jaime II") e uma frase como "O irmão de Carlos II foi deposto". Uma expressão do tipo "O irmão de Carlos II" não tem significado isoladamente; mas, apesar disso, a frase "O irmão de Carlos II foi deposto" tem significado. Com ela são afirmadas três coisas:

a) que algum indivíduo era irmão de Carlos II;
b) que só esse indivíduo era irmão de Carlos II;
c) que esse indivíduo foi deposto.

Ou, mais formalmente:

Para algum x,

a) x era irmão de Carlos II; e
b) para todo o y, se y era irmão de Carlos II, y = x; e
c) x foi deposto.

O primeiro elemento desta formulação diz que pelo menos um indivíduo era irmão de Carlos II; o segundo, que não mais do que um indivíduo era um irmão de Carlos II; pelo que, em conjunto, dizem que exactamente um indivíduo era irmão de Carlos II. O terceiro elemento prossegue dizendo que esse indivíduo único foi deposto. Na frase analisada nada surge que se pareça com um nome de Jaime II; temos em vez disso uma combinação de predicados e quantificadores.

Qual é o interesse desta complicada análise? Para percebermos isso temos de considerar uma frase que, ao contrário de "O irmão de Carlos II foi deposto", não seja verdadeira. Considerem-se as duas frases seguintes:

1) O soberano do Reino Unido é um homem.
2) O soberano dos Estados Unidos é um homem.

Nenhuma destas frases é verdadeira, embora por razões diferentes. Toda a gente concordará que a primeira frase não é verdadeira, mas antes claramente falsa, porque o soberano do Reino Unido é uma mulher. A segunda não é verdadeira porque os Estados Unidos não têm soberano e, de acordo com a perspectiva de Russell, esta segunda frase é não apenas incorrecta mas sim positivamente falsa; por conseguinte, a sua negação "Não é verdade que o soberano dos Estados Unidos seja um homem" é verdadeira. No sistema de Russell, as frases que contêm descrições definidas vazias diferem grandemente das frases que contêm nomes vazios, isto é, nomes aparentes que não nomeiam quaisquer objectos. Para Russell, uma hipotética frase como "Slawkenburgius era um génio" não é na realidade uma frase, e portanto não é verdadeira nem falsa, uma vez que nunca existiu alguém cujo nome próprio fosse Slawkenburgius.

Por que razão pretendia Russell garantir que as frases contendo descrições definidas vazias fossem consideradas falsas? Como Frege, Russell estava interessado na construção de uma linguagem científica precisa tendo em vista a lógica e a matemática. Quer Frege quer Russell consideravam essencial que tal linguagem contivesse apenas expressões com um sentido definido, o que, segundo eles, queria dizer que todas as frases em que as expressões ocorressem deveriam ter um valor de verdade. Pois se permitirmos no nosso sistema frases sem valor de verdade, a inferência e a dedução tornam-se impossíveis. É simples reconhecer que a expressão "o quadrado redondo" nada denota, porque é obviamente auto-contraditória. Mas pode não ser claro, sem uma investigação prévia, saber que uma fórmula matemática complicada contém uma contradição escondida. E, se tal acontecer, não seremos capazes de o descobrir por meio da investigação lógica, a menos que as frases que a contêm tenham garantidamente um valor de verdade.

Análise lógica

Em On Denoting e noutros artigos posteriores, Russell fala constantemente da actividade do filósofo como uma actividade de análise. Por "análise" entende Russell uma técnica de substituição de modos de expressão que de alguma forma são logicamente enganadores por outros logicamente claros. A sua teoria das descrições foi por muito tempo um paradigma da análise lógica assim entendida. Mas, no espírito de Russell, a análise lógica era muito mais do que um dispositivo para a clarificação de frases. Acabou por pensar que, depois de alcançada uma forma clara para a lógica, ela revelaria a estrutura do mundo.

A lógica continha variáveis individuais e funções proposicionais que no mundo correspondiam aos particulares e universais. Em lógica, as proposições complexas eram construídas a partir de proposições simples enquanto funções de verdade destas. De forma semelhante, no mundo existiam factos atómicos independentes correspondendo às proposições simples. Os factos atómicos consistiam na posse de uma característica por um particular ou numa relação entre dois ou mais particulares. Chamou-se "atomismo lógico" a esta teoria de Russell.

A teoria das descrições foi o grande instrumento analítico do atomismo lógico. Russell começou por aplicá-la não só a quadrados redondos e entidades platónicas, mas também a muitas coisas que o senso comum consideraria perfeitamente reais, tais como Júlio César, mesas e cadeiras. A razão de ser disto residia no facto de Russell ter acabado por pensar que todas as proposições que podemos compreender devem ser compostas inteiramente de elementos com os quais estamos em contacto. "Contacto" era a palavra de Russell para a apresentação imediata: por exemplo, estamos em contacto com os nossos dados dos sentidos, que correspondem às impressões no sistema de Hume ou às apreensões da consciência cartesiana. Mas Russell conservava ainda algo do seu platonismo anterior: pensava que tinha contacto directo com os universais que eram representados pelos predicados da linguagem lógica reformada. Mas o domínio das coisas que podíamos conhecer por contacto era limitado; não podíamos contactar com a rainha Vitória nem com os nossos próprios dados dos sentidos do passado. As coisas que não eram conhecidas por contacto eram conhecidas apenas por descrição; daí a importância da teoria das descrições.

Na frase "César atravessou o Rubicão", proferida nos nossos dias em português, temos uma proposição na qual aparentemente não existem partes constitutivas com as quais estejamos em contacto. Para explicar como podemos compreender a frase, Russell analisa os nomes "César" e "Rubicão" como descrições definidas. As descrições, no seu todo, incluem sem dúvida referências a esses nomes, mas não aos objectos que nomeiam. A frase é apresentada de tal forma que incide sobre características, relações gerais, e nomes com que entramos em contacto quando as proferimos.

Para Russell, portanto, os nomes próprios vulgares eram de facto descrições disfarçadas. Uma frase completamente analisada só conteria nomes próprios lógicos (palavras que se referem a particulares com os quais estamos em contacto) e universais (palavras que se referem a características e relações). Nunca foi inteiramente claro em que consistiam os nomes logicamente próprios. Por vezes Russell parecia aprovar apenas demonstrativos como "este" e "aquele". Portanto, uma proposição atómica seria algo como "(este) vermelho" ou "(este) perto de (aquele)".

O atomismo lógico foi apresentado numa famosa série de conferências em 1918. Não foi de modo algum a última palavra de Russell em filosofia. Nos 52 anos que lhe restaram, Russell escreveu muitos livros e ensaios, alguns dos quais versam sobre tópicos de lógica e epistemologia, bem como sobre moral e educação — temas estes que começaram a merecer cada vez mais a sua atenção. Na parte final da sua vida, e particularmente depois de ter herdado o título de conde, tornou-se conhecido para um público muito vasto como escritor e activista sobre vários temas sociais e políticos. Mas a maior parte do trabalho que estabeleceu a sua reputação entre os filósofos profissionais e os matemáticos ficou completa até 1920. Russell era o primeiro a admitir que o próprio atomismo lógico se devia em grande parte às ideias de um dos seus primeiros alunos, Ludwig Wittgenstein. Seria Wittgenstein a apresentar, no seu Tractatus Logico-Philosophicus, a mais peremptória formulação do sistema. Seria também Wittgenstein quem, depois de ter repudiado o atomismo lógico, desenvolveu gradualmente a mais profícua filosofia do século XX.

Anthony Kenny

Retirado de História Concisa da Filosofia Ocidental, de Anthony Kenny. Trad. Desidério Murcho, Fernando Martinho, Maria José Figueiredo, Pedro Santos e Rui Cabral (Temas e Debates, 1999).

Sugestões de leitura

Os textos mais importantes de Frege estão coligidos em inglês no volume The Frege Reader, org. por M. Beaney (Blackwell, 1997). Os Fundamentos da Aritmética (INCM, 1992) foram traduzidos para português por A. Zilhão. As obras de M. Dummett, em especial Frege: Philosophy of Language (Duckworth, 2.a ed., 1981), dominam a área, mas são difíceis para o principiante. Veja-se também A. Kenny, Frege (Penguin, 1995). A maior parte da obra de Russell está disponível em edições inglesas acessíveis. Os principiantes devem ler primeiro Os Problemas da Filosofia (Edições 70, 2008); Introdução à Filosofia Matemática (Zahar, 2007) é talvez a sua melhor obra. Há uma introdução curta a Russell de A. C. Grayling (1996).

Termos de utilização ⋅ Não reproduza sem citar a fonte