Lógica, de Graham Priest
28 de Outubro de 2009 ⋅ Lógica

Designadores e quantificadores: será que o nada é algo?

Graham Priest
Universidade de Melbourne
Tradução de Célia Teixeira

As inferências que abordámos no último capítulo continham expressões como “ou” e “Não se dá o caso de”, palavras que ligam ou juntam frases completas para produzirem outras frases completas. Mas há muitas outras inferências que parecem funcionar de modo bastante diferente.

Tome-se, por exemplo, a seguinte inferência:

O Marco deu-me um livro.
Alguém me deu um livro.

Nem a premissa nem a conclusão tem uma parte que é ela própria uma frase completa. Se esta inferência for válida, é-o por causa do que se passa no interior das frases completas.

A gramática tradicional diz-nos que as frases completas simples são compostas por um sujeito e um predicado. Assim, considere-se os exemplos:

  1. O Marco viu o elefante.
  2. A Ana adormeceu.
  3. Alguém me bateu.
  4. Ninguém veio à minha festa.

Em todos os casos, a primeira palavra (descontando o “o” e o “a”) é o sujeito da frase: diz-nos acerca do que é a frase. O resto é o predicado: diz-nos o que é dito acerca do sujeito.

Quando é uma destas frases verdadeira? Tome-se o segundo exemplo. Essa frase é verdadeira se o objecto referido pelo sujeito “Ana” tem a propriedade expressa pelo predicado, isto é, ter adormecido.

Está tudo muito bem. Mas que refere o sujeito da frase 3? A pessoa que me bateu? Mas talvez ninguém me tenha batido. Ninguém disse que isto era uma frase verdadeira. O caso da frase 4 ainda é pior. Quem refere “ninguém”? Em Alice do Outro Lado do Espelho, imediatamente antes do seu encontro com o Leão e o Unicórnio, Alice encontra o Rei Branco, que está à espera de um mensageiro. (Por qualquer razão, quando o mensageiro aparece, é estranhamente parecido com um coelho.) Quando o Rei encontra a Alice, diz:

— Olha apenas para a estrada, e diz-me se consegues ver [o Mensageiro].
— Ninguém à vista —, disse a Alice.
— Gostava de ter uns olhos assim — observa o Rei num tom irritado. — Ser capaz de ver Ninguém! E ao longe! Ora! Com esta luz o máximo que eu consigo fazer é ver pessoas reais!

Carroll está a fazer uma piada lógica, como de costume. Quando a Alice diz “Ninguém à vista” não está a dizer que consegue ver uma pessoa — real ou não. “Ninguém” não refere uma pessoa — ou outra coisa qualquer.

Às palavras como “ninguém”, “alguém”, “todos” chamam os lógicos modernos quantificadores, e são diferentes de designadores como “Marco” ou “Ana”. O que acabámos de ver é que, mesmo que tanto os quantificadores como os designadores possam ser os sujeitos gramaticais das frases, têm de funcionar de modo bastante diferente. Portanto, como funcionam os quantificadores?

Aqui vai uma resposta canónica moderna. As situações vêm guarnecidas com um dado lote de objectos. No nosso caso, os objectos relevantes são as pessoas. Todos os designadores que ocorrem no nosso raciocínio acerca desta situação referem um dos objectos desta colecção. Assim, se escrevermos m em vez de “Marco”, m refere um desses objectos. E se escrevermos H em vez de “é feliz”, então a frase mH é verdadeira na situação só se o objecto referido por m tiver a propriedade expressa por H. (Por razões perversas que só eles sabem, os lógicos normalmente invertem a ordem, e escrevem Hm, em vez de mH. Isto é apenas uma questão de convenção.)

Considere-se agora a frase “Alguém é feliz”. Isto é verdadeiro na situação só se existir um objecto qualquer, na colecção de objectos, que é feliz — isto é, um objecto da colecção, chamemos-lhe x, é tal que x é feliz. Abreviemos “Algum objecto, x, é tal que” assim: ∃x. Deste modo, podemos escrever a frase assim: “∃x x é feliz”. Ou, uma vez que estamos a abreviar “é feliz” com H, podemos escrever a frase assim: ∃x xH. Os lógicos costumam chamar quantificador existencial a ∃x.

E quanto a “Todos são felizes”? Isto é verdadeiro numa situação se todos os objectos da colecção relevante forem felizes. Isto é, todo o objecto x na colecção é tal que x é feliz. Se abreviarmos “Todo o objecto, x, é tal que” para ∀x, então podemos abreviar isto para ∀x xH. Normalmente os lógicos chamam quantificador universal a ∀x.

Já não há nada de especial acerca de como devemos entender “Ninguém é feliz”. Apenas significa que não há qualquer objecto, x, na colecção relevante, tal que x é feliz. Poderíamos ter um símbolo especial para dizer “Nenhum objecto, x, tal que”, mas na verdade os lógicos não se preocupam geralmente em arranjar um. Pois dizer que ninguém é feliz é dizer que não se dá o caso de alguém ser feliz. Assim, podemos escrever isto como ¬∃x xH.

Esta análise dos quantificadores mostra-nos que os designadores e os quantificadores funcionam de modo bem diferente. Em particular, o facto de “O Marco é feliz” e “Alguém é feliz” se abreviarem de modos completamente diferentes, para mH e ∃x xH, respectivamente, mostra-nos isso. Mostra-nos que, além disso, uma forma gramatical aparentemente simples pode ser enganadora. Nem todos os sujeitos gramaticais são iguais. Esta análise, a propósito, mostra-nos por que razão a inferência com que começámos é válida. Abreviemos “deu-me o livro” para G. Assim, a inferência é:

mG
∃x xG

É evidente que se, numa situação qualquer, o objecto referido pelo designador m me deu o livro, então algum objecto da colecção relevante me deu o livro. Ao invés, o Rei Branco infere do facto de Alice ter visto ninguém que ela viu alguém (nomeadamente, Ninguém). Se abreviarmos “é visto por Alice” para A, então a inferência do Rei é:

¬∃x xA
∃x xA

Isto é claramente inválido. Se não há qualquer objecto no domínio relevante que foi visto por Alice, é óbvio que não é verdade que há um objecto qualquer no domínio relevante que foi visto por ela.

O leitor poderá pensar que isto é demasiada confusão para nada — que, na verdade, isto não passa de uma maneira de estragar uma boa piada. Mas é muito mais sério do que isso. Pois os quantificadores desempenham um papel central em muitos argumentos importantes tanto na matemática como na filosofia. Eis um exemplo filosófico. É uma suposição natural que nada acontece sem explicação aparente: as pessoas não adoecem por acaso; os carros não avariam sem terem problemas. Assim, tudo tem uma causa. Mas o que poderia ser a causa de tudo? É claro que não pode ser algo físico, como uma pessoa; ou mesmo algo como o Big Bang da cosmologia. Tais coisas devem elas próprias ter causas. Então deve ser algo de metafísico. Deus é o candidato óbvio.

Esta é uma versão de um argumento a favor da existência de Deus, normalmente designado por argumento cosmológico. Podemos objectar ao argumento de várias formas. Mas no seu cerne há uma enorme falácia lógica. A frase “Tudo tem uma causa” é ambígua. Poderá querer dizer que tudo o que acontece tem uma causa qualquer — isto é, que para todo o x existe um y tal que x foi causado por y; ou poderá querer dizer que existe algo que é a causa de tudo — isto é, que existe um y tal que para todo o x, x é causado por y. Suponha-se que pensamos no domínio relevante de objectos como causas e efeitos, e escrevemos “x é causado por y” como xCy. Assim, podemos escrever estes dois significados, respectivamente, da seguinte maneira:

  1. xy xCy
  2. y x xCy

Ora, estas duas frases não são logicamente equivalentes. A primeira segue-se da segunda. Se existe algo que é a causa de tudo, então certamente que tudo o que acontece tem uma causa qualquer. (Compare-se: Todos têm uma mãe; não se segue que existe alguém que é a mãe de todos.)

Esta versão do argumento cosmológico tira partido desta ambiguidade. Aquilo que se estabelece no caso da observação das doenças e dos carros é 1. Mas o argumento salta imediatamente para a pergunta de qual é a causa, assumindo que foi 2 que foi estabelecido. Além disso, este desvio está escondido porque, em português, “Tudo tem uma causa” pode ser usado para exprimir tanto 1 como 2. Note-se que também não há qualquer ambiguidade se os quantificadores forem substituídos por designadores. A frase “A radiação de fundo do cosmos é causada pelo Big Bang” não é de modo algum ambígua. Pode muito bem dar-se o caso de que uma incapacidade para distinguir entre designadores e quantificadores seja mais um motivo que explique por que razão podemos não ser capazes de detectar a ambiguidade.

Portanto, é importante ter uma compreensão correcta dos quantificadores — e é importante não apenas para a lógica. Palavras como “algo”, “nada”, etc., não referem objectos; funcionam de modo completamente diferente. Ou pelo menos, podem funcionar de modo completamente diferente: as coisas não são assim tão simples. Considere-se de novo o cosmos. Ou o cosmos se prolonga infinitamente em direcção ao passado, ou começou a existir num dado momento. No primeiro caso, não teve um começo: sempre existiu; no segundo caso, começou a existir num dado momento. De facto, a física tem-nos dito, em momentos distintos, coisas diferentes quanto à verdade disto. Deixemos esse aspecto de lado e tomemos apenas em consideração a segunda possibilidade. Neste caso, o cosmos apareceu do nada — ou pelo menos a partir de nada de físico, dado que o cosmos é a totalidade de tudo o que é físico. Agora considere-se a seguinte frase: “O cosmos começou a existir a partir do nada”. Seja c o cosmos, e abreviemos “x começou a existir a partir de y” para xEy. Assim, dado o nosso conhecimento acerca dos quantificadores, esta frase deve ter o seguinte significado: ¬∃x cEx. Mas a frase não quer dizer isto, uma vez que isto é igualmente verdade no caso da primeira cosmologia alternativa. Neste caso, o cosmos, estendendo-se infinitamente em direcção ao passado, não começou de modo algum a existir. Assim sendo, em particular, também não se dá o caso de começar a existir a partir de alguma coisa. Quando dizemos que na segunda cosmologia o cosmos começou a existir a partir de nada, queremos dizer que ele começou a ser a partir do nada. Portanto, o nada pode ser uma coisa. Afinal de contas, o Rei Branco não é assim tão pateta.

Graham Priest

Retirado de Lógica (Lisboa: Temas e Debates, 2002, pp. 19-27)
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