Lógica, de Graham Priest
2 de Outubro de 2009 ⋅ Lógica

Funções de verdade — ou não?

Graham Priest
Universidade de Melbourne
Tradução de Célia Teixeira

Quer as regras da validade esteja incrustadas em nós quer não, todos nós temos intuições muito fortes acerca da validade ou invalidade de várias inferências. Não deverá haver um grande desacordo, por exemplo, sobre a validade da seguinte inferência: "ela é uma mulher e é banqueira; logo, é banqueira"; ou sobre a invalidade da seguinte inferência: "Ele é carpinteiro; logo ele é carpinteiro e joga basebol".

Mas as nossas intuições, por vezes, podem meter-nos em problemas. O que acha o leitor da inferência seguinte? As duas premissas estão em cima da linha, a conclusão por baixo.

A Rainha é rica.   A Rainha não é rica.
Os porcos voam.

Certamente que esta inferência não parece válida. A riqueza da Rainha — por maior que seja — não parece sustentar as capacidades voadoras dos porcos.

Mas o que pensa o leitor das seguintes duas inferências?

A Rainha é rica.
Ou a Rainha é rica ou os porcos voam.

Ou a Rainha é rica ou os porcos voam.      A Rainha não é rica.
Os porcos voam.

A primeira destas inferências parece válida. Repare-se na sua conclusão. Os lógicos chamam a frases deste género disjunções; e as cláusulas de cada um dos lados do "ou" chamam-se disjuntos. Ora, o que é preciso para que uma disjunção seja verdadeira? Apenas que um dos disjuntos seja verdadeiro. Assim, em qualquer situação em que a premissa for verdadeira, também o é a conclusão. A segunda inferência também parece válida. Se ou uma ou outra de duas afirmações é verdadeira e uma delas não o é, a outra tem de ser verdadeira.

Ora, o problema é que ao juntarmos estas duas inferências aparentemente válidas, ficamos com uma inferência aparentemente inválida, como esta:

A Rainha é rica.
Ou a Rainha é rica ou os porcos voam.       A Rainha não é rica.
Os porcos voam.

Isto não pode estar bem. Encadear inferências válidas deste modo não nos pode dar uma inferência inválida. Se todas as premissas forem verdadeiras em qualquer situação, então também o são as suas conclusões, e as conclusões que se seguem destas; e assim por diante, até chegarmos à conclusão final. O que correu mal?

Para dar uma resposta ortodoxa a esta questão, concentremo-nos um pouco mais nos detalhes. Comecemos por escrever a frase "Os porcos podem voar" como p e a frase "A Rainha é rica" como q. Isto torna as coisas um pouco mais compactas, mas não apenas isso: se pensarmos nisto por um momento, podemos ver que as duas frases particulares que são efectivamente usadas nos exemplos acima, não têm muito a ver com o que se passa; poderíamos ter obtido o mesmo usando praticamente quaisquer frases; por isso, podemos ignorar o seu conteúdo. É isso que fazemos ao simbolizar as frases com letras.

A frase "Ou a Rainha é rica ou os porcos podem voar" agora é "Ou q ou p". Os lógicos escrevem muitas vezes isto como q ∨ p. E quanto a "A rainha não é rica"? Reescrevamos isto como "Não se dá o caso de a Rainha ser rica", puxando a partícula negativa para a frente da frase. Assim a frase fica "Não se dá o caso de q". Os lógicos costumam escrever isto como ¬q, e chamam-lhe a negação de q. Já que estamos nisto, e quanto à frase "A Rainha é rica e os porcos podem voar", isto é, "q e p"? Os lógicos costumam escrever isto como q & p e chamam-lhe a conjunção de q e p, sendo q e p os conjuntos. Na posse desta maquinaria, podemos escrever a cadeia de inferências que encontrámos assim:

q
q ∨ p     ¬q
p

Que havemos de dizer sobre esta inferência?

As frases podem ser verdadeiras, e podem ser falsas. Usemos V para verdade e F para falsidade. Seguindo um dos fundadores da lógica moderna, o filósofo e matemático alemão Gottlob Frege, é costume chamar-se a isto valores de verdade. Dada qualquer frase, a, que queiramos, qual a relação entre o valor de verdade de a e o da sua negação, ¬a? Uma resposta natural é a de que se uma é verdadeira, a outra é falsa, e vice-versa. Assim, se "A Rainha é rica" é verdadeira, "A Rainha não é rica" é falsa, e vice-versa. Podemos registar isto como se segue:

¬a tem o valor V só se a tem o valor F.
¬a tem o valor F só se a tem o valor V.

Os lógicos chamam a isto as condições de verdade da negação. Se supusermos que todas as frases são verdadeiras ou falsas, mas não ambas as coisas, podemos representar as condições na seguinte tabela, às quais os lógicos chamam tabela de verdade:

a ¬a
V F
F V

Se a tem o valor de verdade dado na coluna debaixo de si, ¬a tem o valor correspondente à sua direita.

E quanto à disjunção, ∨? Como já observámos, uma suposição natural é que uma disjunção, a ∨ b, é verdadeira se um dos dois, a ou b (ou talvez ambos), forem verdadeiros, e é falsa caso contrário. Podemos registar isto nas condições de verdade para a disjunção:

a ∨ b tem o valor V só se pelo menos um dos disjuntos a e b tiver o valor V.
a ∨ b tem o valor F só se ambos os disjuntos a e b tiverem o valor F.

Estas condições podem ser representadas na seguinte tabela:

a b a ∨ b
V V V
V F V
F V V
F F F

Cada linha — excepto a primeira, que é o cabeçalho — regista uma combinação possível dos valores de a (primeira coluna) e de b (segunda coluna). Há quatro combinações possíveis, e por isso quatro linhas. Para cada combinação, o valor correspondente de a ∨ b é dado à sua direita (terceira coluna).

Mais um vez, já que estamos nisto, qual é a relação entre os valores de a e b, e o de a & b? Uma suposição natural é que a & b é verdadeira se ambos, a e b, forem verdadeiros, é falsa caso contrário. Assim, por exemplo, "O João tem 35 anos e cabelo castanho" é verdadeira só no caso em que "O João tem 35 anos" e "O João tem cabelo castanho" forem ambas verdadeiras. Podemos registar isto nas condições de verdade para a conjunção:

a & b tem o valor V só se ambos, a e b, tiverem o valor V.
a & b tem o valor F só se pelo menos um dos conjuntos a e b tiver o valor F.

Estas condições podem ser representadas na seguinte tabela de verdade:

a b a & b
V V V
V F F
F V F
F F F

Ora, em que medida se relaciona isto com o nosso problema inicial? Retomemos a questão que levantámos no final do último capítulo: o que é uma situação? Uma forma natural de pensar nisto é que o que quer que seja uma situação, ela determina um valor de verdade para cada frase. Assim, por exemplo, numa situação particular, pode ser verdade que a Rainha seja rica e falso que os porcos voam. Noutra situação, pode ser falso que a Rainha seja rica e verdade que os porcos voam. (Note-se que estas situações podem ser meramente hipotéticas!) Por outras palavras, uma situação determina cada frase relevante como V ou F. Neste caso, a frase relevante não contém nenhuma ocorrência de "e", "ou" ou "não". Dada a informação básica acerca de uma situação, podemos usar tabelas de verdade para determinar os valores de verdade das frases relevantes.

Por exemplo, suponha-se que temos a seguinte situação:

p: V
q: F
r: V

(r pode ser a frase "Ruibarbo é nutritivo", e "p: V" significa que a p é atribuído o valor V, etc.) Qual é o valor de verdade de, por exemplo, p & (¬r ∨ q)? Calculamos o valor de verdade disto exactamente do mesmo modo que calculamos o valor numérico de 3 × (-6 + 2) usando as tabelas da multiplicação e da adição. O valor de r é V. Assim, a tabela de verdade para ¬ diz-nos que o valor de verdade de ¬r é F. Mas uma vez que o valor de q é F, a tabela de verdade para ∨ diz-nos que o valor ¬r ∨ q é F. E uma vez que o valor de verdade de p é V, a tabela de verdade para & diz-nos que o valor de p & (¬r ∨ q) é F. Desta forma, passo a passo, podemos calcular o valor de verdade de qualquer fórmula que contenha a ocorrência de &, ∨ e ¬.

Recordemos agora do último capítulo que uma inferência é válida desde que não exista qualquer situação que torne todas as premissas verdadeiras e a conclusão não verdadeira (portanto, falsa). Isto é, é válida se não existe nenhuma forma de atribuir V e F às frases relevantes, que resulte em todas as premissas terem o valor V e a conclusão o valor F. Considere-se, por exemplo, a inferência que já encontrámos, q / q ∨ p. (Escrevo isto numa única linha para poupar à Temas e Debates algum dinheiro.) As frases relevantes são q e p. Há quatro combinações de valores de verdade, e para cada uma podemos calcular os valores de verdade das premissas e da conclusão. Podemos representar o resultado deste modo:

q p q q ∨ p
V V V V
V F V V
F V F V
F F F F

As duas primeiras colunas fornecem-nos todas as combinações possíveis de valores de verdade para q e p. As últimas duas colunas fornecem-nos os valores de verdade correspondentes da premissa e da conclusão. A terceira coluna é igual à primeira. Isto é uma casualidade deste exemplo, devido ao facto de que, neste caso específico, a premissa é por acaso uma das frases relevantes. A quarta coluna obtém-se a partir da tabela de verdade para a disjunção. Na posse desta informação, podemos ver que a inferência é válida. Pois não há qualquer linha em que a premissa, q, seja verdadeira e a conclusão, q ∨ p, não o seja.

E quanto à inferência q ∨ p, ¬q / p? Procedendo do mesmo modo, obtemos:

q p q ∨ p ¬q p
V V V F V
V F V F F
F V V V V
F F F V F

Desta vez, temos cinco colunas porque há duas premissas. Os valores de verdade das premissas e da conclusão obtêm-se a partir das tabelas de verdade para a disjunção e para a negação. E mais uma vez, não há qualquer linha em que ambas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão não. Logo, a inferência é válida.

E quanto à inferência com que começámos, q, ¬q / p? Procedendo como antes, ficamos com:

q p q ¬q p
V V V F V
V F V F F
F V F V V
F F F V F

Mais uma vez a inferência é válida, e agora sabemos porquê. Não há qualquer linha na qual ambas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. De facto, não há qualquer linha em que ambas as premissas sejam verdadeiras. Na verdade, a conclusão não faz qualquer diferença! Por vezes os lógicos descrevem esta situação dizendo que a inferência é vacuamente válida, porque as premissas nunca poderiam ser conjuntamente verdadeiras.

Assim, temos aqui uma solução para o problema com que começamos. De acordo com esta abordagem, as nossas intuições originais acerca desta inferência estavam incorrectas. Afinal de contas, as nossas intuições podem muitas vezes ser enganadoras. Parece óbvio a toda a gente que a Terra está parada — até tirarmos um curso de física e descobrirmos que ela está de facto a deslocar-se através do espaço. Podemos até fornecer uma explicação da razão pela qual as nossas intuições lógicas falham. A maioria das inferências que encontramos no nosso dia-a-dia não é do tipo vácuo. As nossas intuições desenvolvem-se nesse tipo de contextos quotidianos, e não se aplicam na generalidade — tal como os hábitos que adquirimos ao aprendermos a andar (por exemplo, não nos inclinarmos para o lado), nem sempre funcionam noutros contextos (por exemplo, quando estamos a aprender a andar de bicicleta).

Iremos retomar este tema noutro capítulo. Mas terminemos este com uma breve revisão da adequação da maquinaria que utilizámos. As coisas não são tão óbvias como poderíamos esperar. De acordo com esta abordagem, o valor de verdade de uma frase ¬a é completamente determinado pelo valor de verdade da frase a. De modo análogo, os valores de verdade das frases a ∨ b e a & b são completamente determinados pelos valores de verdade de a e b. Os lógicos chamam às operações que funcionam deste modo funções de verdade. Mas existem boas razões para achar que "ou" e "e", tal como ocorrem no português, não são funções de verdade — pelo menos nem sempre.

Por exemplo, de acordo com a tabela de verdade para o &, "a e b" terá sempre o mesmo valor de verdade que "b e a": nomeadamente, são ambas verdadeiras se a e b forem ambas verdadeiros, e falsas caso contrário. Mas considere-se estas frases:

  1. João bateu com a cabeça e caiu.
  2. João caiu e bateu com a cabeça.

A primeira diz que diz que o João bateu com a cabeça e depois caiu. A segunda que o João caiu e depois bateu com a cabeça. Certamente que a primeira poderia ter sido verdadeira, enquanto que a segunda falsa, e vice-versa. Assim, não é apenas o valor de verdade dos conjuntos que é importante, mas qual dos conjuntos causa o outro.

O "ou" é afectado por problemas análogos. De acordo com a nossa abordagem, "a ou b" é verdadeira se uma ou outra das frases disjuntas a e b for verdadeira. Mas suponha-se que um amigo nos dizia:

Ou vamos já ou chegamos atrasados.

E nós vamos. Dada a tabela de verdade do ∨, a disjunção é verdadeira. Mas suponha-se que descobrimos que o nosso amigo nos tinha enganado: poderíamos ter saído meia hora mais tarde e mesmo assim termos chegado a horas. Dadas estas circunstâncias, certamente que teríamos dito que o nosso amigo tinha mentido: o que ele tinha dito era falso. Mais uma vez, não são apenas os valores de verdade dos disjuntos que são importantes, mas também a existência de um certo tipo de conexão entre eles.

Vou deixar o leitor a pensar sobre estas matérias. O material que temos vindo a ver fornece-nos pelo menos uma hipótese de trabalho sobre o modo como certos instrumentos lógicos funcionam; e iremos apoiar-nos neles nos próximos capítulos, a não ser que as ideias nesses capítulos a rejeitem explicitamente — o que por vezes irá acontecer.

O instrumento em causa lida apenas com certos tipos de inferências: mas há muitos outros. Ainda mal começámos.

Graham Priest

Retirado de Lógica (Temas e Debates, 2002, pp. 19-27)
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