Por que precisamos de uma lógica de predicados?

1. Introdução

A lógica proposicional é, em demasiados aspetos, bastante limitada. Apenas permite dar conta das condições de validade de um conjunto restrito de argumentos dedutivos. A razão desta limitação é dupla: por um lado, a lógica proposicional permite determinar como válidos ou inválidos os argumentos cuja validade depende apenas dos conectores proposicionais; por outro lado, os conectores não são o único fator de que depende a validade destes argumentos.

A lógica de predicados vai mais longe: permite determinar as condições de validade de argumentos — como os silogismos, por exemplo — que, além dos conectores, dependem de expressões como “todos” e “alguns”, geralmente designadas por quantificadores.¹ A palavra “todos” exprime em português o quantificador universal e a palavra “alguns” o quantificador existencial. A última designação advém do facto de a palavra “alguns” ser interpretada na linguagem de predicados como “existe pelo menos um”. A teoria aristotélica do silogismo foi a primeira a procurar elucidar as condições de validade deste tipo de argumentos, tendo sido em definitivo ultrapassada já no século XX, por Gottlob Frege (1848—1925), um matemático e filósofo alemão.

A lógica de predicados é uma extensão da lógica proposicional e inclui a lógica proposicional como um dos seus elementos (visto que também tem em consideração o papel dos conectores na determinação da validade ou invalidade das inferências de que se ocupa). Vejamos, na prática, o que isto significa.

2. A linguagem formal proposicional tem de ser alargada

Dado que as condições de validade dos argumentos dedutivos dependem unicamente da sua forma lógica, a lógica moderna ocupou-se em construir linguagens formais destinadas, entre outras coisas, a tornar explicitas (sem ambiguidade) a estrutura lógica de proposições e argumentos para, assim, elucidar as suas condições de validade. Os limites da lógica proposicional estão, portanto, associados a certas limitações da linguagem formal a que pode recorrer. Estas limitações dizem respeito ao seu vocabulário, que, na lógica proposicional, é significativamente mais restrito do que na lógica de predicados.

Na linguagem proposicional existem apenas três tipos de símbolos que podem ser usados para formalizar argumentos: (a) letras proposicionais; (b) símbolos para conectores; (c) parêntesis. As letras proposicionais (A, B, C, etc.) são usadas para representar proposições atómicas, isto é, proposições que não contêm conectores. Os símbolos para os conectores (¬, ∧, ∨, etc.) representam funções de verdade,² sendo o significado de cada um expresso mediante uma tabela de verdade. Por fim, os parêntesis desempenham na linguagem proposicional a função dos sinais de pontuação nas linguagens naturais.

A linguagem proposicional não dispõe de símbolos capazes de representar quantificação nem de símbolos para evidenciar a estrutura das proposições atómicas.³ Para formalizar o seguinte silogismo precisamos da linguagem de predicados:

1. Todos os homens são mortais.
2. Sócrates é homem.
3. ∴ Sócrates é mortal.

A premissa (1) não é uma proposição atómica (contém um quantificador e um conector, apesar de o último não ser evidente) e, embora a premissa (2) e a conclusão sejam proposições atómicas, a linguagem proposicional não dispõe dos meios para formalizar a sua estrutura interna (neste caso, a forma sujeito-predicado).⁴ A linguagem de predicados vem eliminar estas limitações.

2.1 A linguagem de predicados

Os símbolos que constituem a linguagem de predicados, além das letras proposicionais, dos símbolos para os conectores e dos parêntesis, são os seguintes.

Símbolos para quantificadores

• (a) quantificador universal (∀): (um A invertido);
• (b) quantificador existencial (∃): (um E com uma rotação para a esquerda de 180º).

Estes símbolos podem ser usados na formalização de proposições como “Todos são altos” (∀) e “Alguns são altos”, ou “Existem marcianos” (∃). Para concluir a formalização destas proposições, além dos símbolos para os quantificadores, precisamos de símbolos para predicados: “ser alto”, “ser marciano”, etc. Precisamos, pois, de símbolos que representem as características ou propriedades dos indivíduos particulares que estamos a referir.

Símbolos para predicados

Gottlob Frege introduziu uma importante inovação na forma de entender os predicados. Em resultado desta inovação, expressões linguísticas como “ser verde”, “ser alto”, etc., são interpretadas na linguagem de predicados como funções de um tipo especial. Vimos atrás que as funções são regras para estabelecer a correspondência entre elementos de dois conjuntos A e B, de tal modo que a um elemento de A poderá corresponder um e um só elemento de B. Mas, no caso dos predicados, de que conjuntos poderemos estar a falar?

A resposta pode ser claramente dada pela forma como um predicado se deixa representar. Os predicados expressam propriedades que podem ser exemplificadas por objetos (pessoas, coisas, etc.), como “ser alto” ou “ser português”.

A ideia de Frege permite representar um predicado como “ser português” como se segue:

“___é português”

O espaço vazio à esquerda da palavra serve para nele ser inserido um nome tal como na função 2x = y, o x indica o lugar da variável independente que poderemos substituir por qualquer número (por exemplo, do conjunto dos números naturais), obtendo-se desse modo o valor correspondente ao seu dobro, que é sempre único (um só) para cada valor de x. No exemplo acima, o conjunto em causa terá de ser o das pessoas (ou o dos escritores), e não, naturalmente, o dos números. (A frase “2 é português” não expressa uma proposição.)

Se, no espaço vazio, inserirmos o nome “Fernando Pessoa”, obtemos uma frase verdadeira. Se, no mesmo espaço, inserirmos o nome “Alexandre Dumas”, obtemos uma frase falsa. Uma vez que este procedimento pode ser repetido indefinidamente, é lícito concluir que este predicado, e, por extensão, qualquer outro do mesmo tipo, faz corresponder a cada objeto de um certo conjunto A que os nomes referem (neste caso, o conjunto dos escritores) um e um só elemento do conjunto B, cujos elementos são valores de verdade. Os predicados podem, nesta medida, ser interpretados como funções de objetos (objetos que os nomes referem) para valores de verdade.

Aos predicados cuja representação gráfica dispõe apenas de um lugar vazio destinado à inserção de um nome próprio chamamos predicados unários ou monádicos.

Acontece que nem todos os predicados poderão ser representados como contendo apenas um espaço vazio à esquerda da expressão linguística. Não existem, portanto, apenas predicados monádicos. As frases “Maria ama Luís” e “Coimbra fica situada entre Lisboa e o Porto” têm uma estrutura mais complexa.

Ambas as frases representam certas propriedades (ou relações) em que, por um lado, a Maria e o Luís se encontram, e, por outro, que Coimbra, Lisboa e o Porto exemplificam. O número de nomes próprios em cada uma destas frases indica qual é o número de espaços vazios que teremos de incluir na representação gráfica de cada um dos predicados em causa. O resultado é o seguinte:

“___ ama ___”

“___ fica situada entre ___ e ___”.

No primeiro caso, inserindo nos espaços vazios o par <Júlio César, Brutus> (com esta ordem), obtemos uma frase verdadeira (numa interpretação do predicado mais ampla do que é habitual); mas, se o par a inserir for <Brutus, Júlio César>, obtemos uma frase falsa (na mesma interpretação ampla). A ordem é importante, e é por essa razão que o par é ordenado). No segundo caso, com a inserção do triplo <Oeiras, Lisboa, Cascais>, tem-se uma frase verdadeira; se inserirmos o triplo <Lisboa, Oeiras, Cascais>, por exemplo, a frase é falsa.

A cada par ou triplo ordenado corresponde um só valor de verdade. Estas expressões linguísticas podem, portanto, ser interpretadas como funções de conjuntos de pares (ou triplos) ordenados para valores de verdade. Mas, como o número de lugares numa relação é qualquer um, esta ideia poderá ser expressa em toda a generalidade dizendo que, ao invés dos predicados unários, as relações são funções de n-túplos ordenados para valores de verdade.

Finalmente, para representar o lugar onde se deve inserir um nome, em vez de um espaço, pode usar-se uma variável. O resultado comparativo será o seguinte:

___ é português ou x é português

___ ama ___ ou x ama y.

Estas ideias têm consequências diretas importantes para a notação da linguagem de predicados uma vez que estão na origem dos símbolos que habitualmente se usam para representar predicados (unários) ou relações (n-ádicas).

Os predicados são geralmente representados por uma letra maiúscula que, por razões de inteligibilidade, corresponde à letra inicial do predicado em causa. Exemplos:

P_ =_df “__ é português” ou Px = _df “x é português”.

A_ _ = _df “__ ama __” ou Axy = _df “x ama y”.

(Para predicados diferentes, usam-se letras diferentes.)

Símbolos para indivíduos

Em qualquer dos exemplos dados, é feita referência a certos conjuntos de indivíduos, indivíduos esses que supostamente exemplificam determinadas características expressas pelos predicados — isto é, pelos indivíduos que possuem (presumivelmente) as propriedades de serem altos ou de serem marcianos.

Variáveis

Estes indivíduos podem permanecer indeterminados no sentido em que dizemos que existem números pares ou que todos os números pares são divisíveis por dois. Ao afirmarmos que existem número pares não estamos a referir qualquer número em particular, individualmente considerado, por exemplo, o número 2.

Em álgebra é habitual recorrermos a variáveis para representar números quaisquer (x, y, z, etc.), e é deste modo que procedemos na linguagem de predicados para representar um item particular qualquer que ele seja. No caso de uma proposição como “todos são altos”, por exemplo, as variáveis representam objetos pertencentes a um certo conjunto (dito o domínio do discurso).

Neste exemplo, o conjunto das pessoas que estão numa fila para a farmácia — caso em que a proposição poderá ser verdadeira — ou o conjunto de todas as pessoas — caso em que a proposição é falsa. O domínio poderá ainda ser o conjunto dos prédios de uma cidade ou de determinada rua, etc. Para sabermos qual é o conjunto de objetos em que a variável recebe valores é preciso definir um domínio. O domínio permite identificar o conjunto que teremos de considerar para determinar se a proposição é verdadeira ou é falsa.

Além de símbolos para quantificadores e símbolos para predicados (unários ou n-ádicos), a linguagem de predicados também disponibiliza símbolos para variáveis (x, y, z, etc.).

Constantes individuais

Mas ainda não é tudo. Se podemos referir-nos a indivíduos indeterminados, também podemos referir indivíduos específicos, habitualmente (como nas linguagens naturais) usando um nome próprio: “A Marta é alta”, “O Zywbr é marciano”.

Em álgebra, as constantes individuais (a, b, c, etc.) desempenham uma função equivalente à dos nomes próprios nas linguagens naturais. O mesmo sucede na linguagem de predicados. As constantes individuais são, como em álgebra, representadas na linguagem de predicados por letras minúsculas, a começar do início do alfabeto (a, b, c, etc.). A cada objeto particular de um determinado domínio de objetos poderá ser atribuída uma constante individual pela mesma razão que atribuímos nomes diferentes a pessoas diferentes.

A linguagem de predicados (síntese)

• Quantificadores
  • Universal: ∀.
  • Existencial: ∃.
• Símbolos para predicados unários
  • Ax, Bx, Cx … Mx, Nx… Rx, Sx…
• Símbolos para relações (predicados n-ádicos)
  • Axy, Bxyz… Sxyzw…
• Símbolos para indivíduos
  • Variáveis: x, y, z…
  • Constantes: a, b, c…

2.2 Como usar a linguagem de predicados para determinar a forma lógica de proposições

Exemplo:

1. Todos os homens são mortais.
2. Sócrates é homem.
3. ∴ Sócrates é mortal.

Comecemos o processo de formalização pela premissa (2):

Sócrates é homem.

Esta proposição diz-nos que o indivíduo cujo nome é “Sócrates” possui a propriedade de ser um ser humano. Além do nome e do predicado, a frase não contém mais elementos: é, portanto, uma frase atómica, da forma sujeito-predicado.

Para proceder à sua formalização precisamos de recorrer a um símbolo para um predicado e a um símbolo para denotar um indivíduo específico (uma constante).

De acordo com as convenções já expostas, a formalização tem início com o seguinte dicionário.

Dicionário

Hx = x é um ser humano

a = Sócrates

Sendo a um valor de x em Mx,⁵ a forma lógica da proposição é dada pela fórmula:

Ha.

Passando à conclusão, e seguindo o mesmo procedimento, tem-se:

Dicionário

Mx = x é mortal

a = Sócrates

Forma lógica

Ma

Chegados a este ponto, já podemos explicitar (parcialmente) a forma lógica do argumento:

1. Todos os homens são mortais.
2. Ha
3. ∴ Ma

Vejamos agora a premissa (1).

A primeira coisa a notar é que esta premissa se refere ao conjunto dos seres humanos sem especificar qualquer dos indivíduos que o constituem, mas também sem deixar nenhum deles de fora. Além disso, devemos ter em consideração que “ser um ser humano” e “ser mortal” são características que certos indivíduos exemplificam. Podemos parafrasear a premissa (1) do seguinte modo:

Qualquer que seja o indivíduo x que estejamos a considerar, caso x tenha a propriedade de ser um ser humano, então x tem também a propriedade de ser mortal.

A forma lógica da premissa (1) terá de incluir um quantificador universal, uma variável (para indicar todos os indivíduos não especificados que têm as propriedades de serem humanos e de serem mortais) e dois símbolos para predicados.

O resultado é o seguinte:

Dicionário

Hx = x é um ser humano

Mx = x é mortal

Nota: tal como os conectores não deverão estar incluídos no dicionário ao formalizarmos uma frase (ou proposição) na linguagem proposicional, nas formalizações que nos obrigam a recorrer à linguagem de predicados, só os símbolos não lógicos — isto é: predicados e constantes individuais — ocorrem no dicionário. O dicionário serve apenas para nos fornecer a interpretação pretendida para estes símbolos. A interpretação a dar aos símbolos lógicos é sempre a mesma — p. ex., as tabelas de verdade dão-nos a interpretação dos conectores, que é sempre a mesma para qualquer ocorrência de cada conector.

Formalização

Dada a paráfrase

Qualquer que seja o indivíduo x que estejamos a considerar, se x tem a propriedade de ser um ser humano, então x tem também a propriedade de ser mortal.

torna-se necessário proceder à substituição das diferentes expressões da linguagem natural que nela ocorrem pelos símbolos correspondentes da linguagem de predicados.

Assim:

(∀x) = Qualquer que seja o indivíduo x que estejamos a considerar;

→ = Se … então…

Hx = x tem a propriedade de ser humano

Mx = x tem a propriedade de ser mortal

Forma lógica

(∀x)(Hx → Mx)

Nota: Os parêntesis destinam-se a indicar que o quantificador rege as duas ocorrências da variável, no antecedente e no consequente da implicação, e não apenas a primeira, exatamente como na linguagem proposicional os parêntesis na fórmula ¬(A ⋁ B) indicam que o âmbito da negação é “A ⋁ B” e não apenas “A”.

Assim, a forma lógica do silogismo é a seguinte:

1. (∀x)(Hx → Mx)
2. Ha
3. ∴ Ma

2.3 Comparação

Quando se quer determinar a validade (ou invalidade) de um argumento em que o recurso à sua formalização na linguagem proposicional seja suficiente, não é necessário evidenciar a estrutura interna das proposições atómicas. É o que se passa, por exemplo, no argumento que a seguir se propõe:

1. Se Sócrates é homem, então Sócrates é mortal.
2. Sócrates é homem.
3. ∴ Sócrates é mortal.

e cuja forma lógica tanto pode ser dada por

1. A → B
2. A
3. ∴ B

como por

1. Ha → Ma
2. Ha
3. ∴ Ma.

Contrariamente, para determinar a validade de

1. (∀x)(Hx → Mx)
2. Ha
3. ∴ Ma

é indispensável recorrer à linguagem de predicados. No entanto, convirá ter em conta que a simples ocorrência de quantificadores num argumento não obriga, por si só, a recorrer à linguagem de predicados para testar a sua validade. O exemplo abaixo é um desses casos (um Modus Ponens). Embora envolva quantificação, a posição dos quantificadores não é determinante para a sua validade.

1. Se todos os açorianos são portugueses, então todos açorianos são europeus.
2. Todos os açorianos são portugueses.
3. ∴ Todos os açorianos são europeus.

A simples observação deste argumento sugere que é possível determinar a sua validade apenas com base nos conectores proposicionais. De facto, não é possível as premissas serem ambas verdadeiras e a conclusão falsa. Se a premissa (2) for verdadeira, o consequente da premissa (1) também terá de o ser e, por maioria de razão, é a própria premissa (1) que é verdadeira (ver tabela de verdade da implicação). Mas, nesse caso, a conclusão é também verdadeira.

Exercícios

Seguindo os procedimentos ilustrados antes, determine a forma lógica das seguintes proposições pelo recurso à linguagem de predicados:

1. Joana é portuguesa e açoriana.
2. Se Joana é portuguesa, então não é espanhola.
3. Alguns portugueses são açorianos.
4. Todos os açorianos são portugueses.
5. Alguns portugueses são açorianos, mas não são faialenses.
6. Chove e a Joana está constipada.
7. Todos os açorianos são portugueses e europeus.
8. Existem portugueses e João é um deles.
9. Nem todos os portugueses são açorianos.
10. Todos são altos, mas nem todos são ágeis.

Soluções

1. Joana é portuguesa e açoriana.

Dicionário

Px = x é portuguesa

Ax = x é açoriana

a = Joana

Forma lógica

Pa ⋀ Aa

2. Se Joana é portuguesa, então não é espanhola.

Dicionário

Px = x é portuguesa

Ex = x é espanhola

a = Joana

Forma lógica

Pa → ¬Ea

3. Alguns portugueses são açorianos.

Px = x é português

Ax = x é açoriano

Formalização

Paráfrase: Existe pelo menos um x tal que x é português e x é açoriano.

Forma lógica

(∃x)(Px ⋀ Ax)

4. Todos os açorianos são portugueses.

Ax = x é açoriano

Px = x é português

Formalização

Paráfrase: Para todo o x, se x é açoriano, então x é português.

Forma lógica

(∀x)(Ax → Px)

5. Alguns portugueses são açorianos, mas não são faialenses.

Dicionário

Px = x é portuguesa

Ax = x é açoriana

Fx = x é faialense

Formalização

Paráfrase: Existe pelo menos um x tal que x é português e x é açoriano e x não é faialense.

Forma lógica

(∃x)(Px ⋀ Ax ⋀ ¬Fx)

6. Chove e a Joana está constipada.

Dicionário

A = Chove (letra proposicional)

Cx = x está constipada

a = Joana

Forma lógica

A ⋀ Ca

7. Todos os açorianos são portugueses e europeus.

Dicionário

Ax = x é açoriano

Px = x é português

Ex = x é europeu

Formalização

Paráfrase: Para todo o x, se x é açoriano, então x é português e x é europeu.

Forma lógica

(∀x)[Ax → (Px ⋀ Ex)]

8. Existem portugueses e João é um deles.

Dicionário

Px = x é português

a = João

Formalização

Paráfrase: Existe pelo menos um x tal que x é português e João é um deles (ou seja: é português)

Forma lógica

(∃x)Px ⋀ Pa

9. Nem todos os portugueses são açorianos.

Dicionário

Px = x é português

Ax = x é açoriano

Formalização

Paráfrase: Não é verdade que, para todo o x, se x é português, então x é açoriano.

Forma lógica

¬(∀x)(Px → Ax)

Observação:

A proposição

Nem todos os portugueses são açorianos

é equivalente a

Alguns portugueses não são açorianos.

A segunda proposição deixa-se deduzir da primeira.

Assim, de

¬(∀x)(Px → Ax)

segue-se

(∃x)(Px ⋀ ¬Ax).

10. Todos são altos, mas nem todos são ágeis.

Dicionário

Ax = x é alto

Bx = x é ágil

Formalização

Paráfrase: Para todo o x, x é alto, mas não é verdade que para todo o x, x é ágil.

Forma lógica

(∀x)Ax ⋀ ¬(∀x)Bx

Notas

1. Estas expressões são chamadas quantificadores porque servem para especificar uma determinada quantidade. Nas linguagens naturais encontramos várias (eis uma delas!) expressões com esta função: muitos, poucos, etc.↩︎
2. Uma função é uma regra que permite estabelecer uma correspondência entre os elementos de dois conjuntos, tal que, a cada elemento de um conjunto A poderá corresponder apenas um e um só elemento de um conjunto B. Por exemplo, a cada livro corresponde um e um só número de páginas. Identicamente, a função 2x = y representa uma função. A cada valor de x, corresponde um único valor de y (precisamente o dobro de x). Do mesmo modo, as tabelas de verdade para os diferentes conectores lógicos indicam que, para cada par de valores de verdade do conjunto {(V, V), (V, F), (F, V), (F, F)} corresponde um e um só valor de verdade — F ou V —, embora, a diferentes pares de valores de verdade, possa corresponder um mesmo valor de verdade. A função 2x = y é numérica porque faz corresponder a um número dado outro número (o seu dobro). Os conectores são funções de verdade porque fazem corresponder valores de verdade a valores de verdade.↩︎
3. Uma proposição atómica, embora não contenha conectores, poderá ter estrutura interna. Esta estrutura é elucidada pela linguagem de predicados. Mas, nos casos em que a validade de um argumento depende apenas dos conectores proposicionais, a estrutura interna das proposições atómicas pode ser ignorada. “João é português” é uma frase atómica cuja estrutura interna é da forma sujeito-predicado; “João ama Maria”, sendo também uma frase atómica, não é da forma sujeito-predicado, mas expressa uma relação (diádica).↩︎
4. Uma proposição atómica pode ter ou não estrutura interna. A frase “Chove”, por exemplo, não tem estrutura interna.↩︎
5. Mx e M_ são expressões equivalentes e Ma resulta da inserção de a em M_ , ou seja, da substituição de x em Mx por a.↩︎