Euclides

Euclides (fl. c. 300 a. C., Alexandria, Egipto) foi o mais proeminente matemático da Antiguidade greco-romana, conhecido sobretudo devido ao seu tratado sobre geometria, os Elementos.

Gottlob Frege

Gottlob Frege (1848–1925) foi o fundador da lógica matemática moderna. Como lógico e filósofo da lógica está a par de Aristóteles; como filósofo da matemática não teve igual em toda a história da área.

Por que funciona o teste da estrela?

A lógica silogística estuda argumentos cuja validade dependem de “todo”, “nenhum”, “alguns” e noções semelhantes. Ao simbolizar esses argumentos, usamos letras maiúsculas para categorias gerais (como “lógico”) e letras minúsculas para indivíduos específicos (como “Gensler”). Também usamos estas cinco palavras: “todos”, “nenhum”, “alguns”, “é” e “não é”.

A lógica de Frege

O acontecimento mais importante na história da filosofia do século XIX foi a invenção da lógica matemática. Não se tratou apenas de fundar de novo a própria ciência da lógica; foi algo que teve igualmente consequências importantes para a filosofia da matemática, para a filosofia da linguagem e, em última análise, para a compreensão que os filósofos têm da natureza da própria filosofia.

Para que serve a lógica?

Uma maneira esclarecedora de compreender o que é a lógica e qual é a sua importância é compreender primeiro o que é o raciocínio e qual é a sua importância. Será aqui abordado sobretudo o raciocínio discursivo, que é onde a lógica desempenha o seu papel mais óbvio, mas nem todo o raciocínio é discursivo. Quando reconhecemos um rosto humano, subimos um lance de escadas ou até quando caminhamos, a quantidade de raciocínio exigida é impressionante. Contudo, está quase inteiramente fora do nosso controlo.

Condições necessárias e condições suficientes

A linguagem vulgar é muitas vezes vaga, imprecisa e ambígua. No último caso, isto acontece quando os termos que utilizamos para comunicar admitem mais do que uma interpretação, podendo a mesma expressão assumir diferentes significados ou designar diferentes coisas (objetos, acontecimentos, etc.). A expressão “ser humano”, como é sabido, pode ser interpretada no sentido biológico para designar os membros da espécie Homo Sapiens, ou no sentido psicológico, relativo a pessoa.

Animal racional?

Homo sapiens quer dizer hominíneo sábio, e em muitos aspetos merecemos o epíteto específico do binómio de Lineu. A nossa espécie fez a datação da origem do Universo, sondou a natureza da matéria e da energia, descodificou os segredos da vida, desvendou o circuito da consciência e fez a crónica da nossa história e da nossa diversidade.

Por que precisamos de uma lógica de predicados?

A lógica proposicional é, em demasiados aspetos, bastante limitada. Apenas permite dar conta das condições de validade de um conjunto restrito de argumentos dedutivos.

O que é uma explicação matemática?

Por que razão não consigo dividir sete sardinhas inteiras por três gatos? Por que razão não consigo atravessar as sete pontes de Königsberg, uma só vez e numa única caminhada? Por que razão a espécie Magicicada de cigarras da América do Norte tem ciclos de vida ímpares, de 13 ou 17 anos?

Elementar?

Não nos iludamos. É difícil construir um avião mais rápido do que uma bala. É difícil correr a maratona. Compor As Bodas de Fígaro não deve ter sido fácil. Escrever Os Miseráveis também não. A física é difícil, a matemática é difícil. A lógica é difícil. Muitas coisas valiosas são difíceis — e pretender que não são é iludirmo-nos.

Lógica proposicional

A lógica enquanto ciência que estuda as condições de validade dos argumentos foi fundada por Aristóteles (384-322 a. C.). Paralelamente ao estudo da noção de validade e de outras noções centrais da lógica, Aristóteles desenvolveu a teoria do silogismo.

Pensamento crítico

Pelo menos desde a década de oitenta, em colégios e universidades por todo o planeta têm sido dados cursos de pensamento crítico. Estes cursos são na sua maioria leccionados pelos departamentos de filosofia, e visam dar aos estudantes as competências gerais que são necessárias em todas as disciplinas académicas.

Lógica aristotélica

Alguns professores de Filosofia têm reagido negativamente às alterações recentemente introduzidas pelas Aprendizagens Essenciais (AE) ao ensino da lógica no secundário. Mais precisamente, os seus protestos são contra o seguinte: 1) O fim da “opção segundo os paradigmas das lógicas aristotélica ou proposicional”; 2) A passagem da lógica do 11.º ano para o início do 10.º ano.

É lógico, Aristóteles

Todas as pessoas usam inevitavelmente, e sempre usaram, raciocínios dedutivos das mesmas formas lógicas — uns válidos, outros inválidos. Isso é particularmente visível nos diálogos de Platão, mas também no pensamento clássico indiano e chinês.

Tipos de probabilidade

O matemático, o estatístico e o filósofo fazem coisas diferentes com uma teoria da probabilidade. O matemático desenvolve as suas consequências formais, o estatístico aplica o trabalho do matemático e o filósofo descreve em termos gerais em que consiste esta aplicação. O matemático desenvolve instrumentos simbólicos sem se preocupar muito com o seu uso; o estatístico usa-os; o filósofo fala acerca deles.

Paradoxo sem auto-referência

Por que são algumas frases paradoxais e outras não? Desde Russell, a resposta universal tem sido: circularidade, e, mais especificamente, auto-referência.

O bilhete inferencial de automóvel ligeiro

Alega-se por vezes que há inferências cuja validade emerge unicamente dos significados de certas expressões que nelas ocorrem. Os tecnicismos específicos que se usa não são importantes, mas digamos que essas inferências, se é que as há, são analiticamente válidas.

Mais precisamente

Alguns livros introdutórios de matemática têm a infelicidade de serem repletos de formalismos desnecessários e tecnicismos avançados que só interessam para fazer investigação em matemática, mas são incompreensíveis para filósofos.

Problemas de interpretação da teoria do silogismo

A teoria lógica moderna rejeita a silogística como uma teoria geral da validade dado que a sua teoria das formas proposicionais é demasiado limitada. Contudo, é possível interpretar a silogística como um fragmento de uma teoria lógica mais geral, como o cálculo de predicados.

O que a Tartaruga disse a Aquiles

Aquiles alcança a tartaruga e senta-se confortavelmente na sua carapaça.

— Então, chegaste ao fim da nossa corrida — perguntou a Tartaruga — apesar de consistir numa série infinita de distâncias? Supunha que um certo sabichão havia provado que tal não poderia ser feito.

Mais um dogma do empirismo

É conhecida a rejeição de Quine da “teoria do significado” — concebida como uma teoria de noções intensionais como sinonímia, analiticidade, intensão, e assim por diante — assim como a sua aceitação da “teoria da referência”. A discrepância resulta certamente da diferença entre os paradigmas destas teorias.

A verdadeira forma do silogismo aristotélico

Em três obras filosóficas publicadas recentemente, aquilo que se segue é fornecido como um exemplo de um silogismo aristotélico: Todos os homens são mortais; Sócrates é um homem; logo, Sócrates é mortal. Este exemplo parece muito antigo.

Validade formal e verdade

Uma das noções que os alunos têm mais dificuldade em compreender é a de validade. Mesmo depois de termos dedicado algumas aulas a esta noção, um número razoável de alunos comete erros na sua explicação ou aplicação.

Tocar à campainha aqui e na China

Se o leitor for europeu, se souber que fui eu que toquei à campainha e quiser mostrar que me respeita, não demorará a abrir a porta. Porém, o meu amigo Fong, formado na velha cultura chinesa, vai fazer-me esperar uns minutos... para mostrar que me respeita. Algumas pessoas explicam diferenças surpreendentes deste tipo afirmando que europeus e chineses pensam segundo “lógicas diferentes”.

Argumentação e retórica

A lógica formal e a lógica informal têm como objectivo distinguir os argumentos válidos dos argumentos inválidos e os argumentos bons dos argumentos maus. Quer no caso da lógica formal quer no caso da lógica informal, trata-se de estabelecer critérios objectivos que permitam saber, com o maior rigor possível, quando a conclusão de um argumento é verdadeira ou provável, caso as premissas também o sejam.

Para uma vida humana realizada

Imagine que um colega seu afirma que uma certa ideia — por exemplo que se deve apostar na produção de vinho — é falsa pois Salazar também a defendia. O leitor compreende que há algo de errado nessa afirmação, mas tem dificuldade em explicar porquê.

Pseudo-argumentos

Ocorre um pseudo-argumento quando alguém apresenta o que, semanticamente, é sem dúvida um argumento, mas o apresenta de tal modo que, pragmaticamente, é apenas um acto discursivo alheio à argumentação.

A lógica estóica segundo Suzanne Bobzien

Suzanne Bobzien, professora de Yale, especializada em filosofia da lógica, filosofia da linguagem e filosofia antiga, nos oferece, em “Stoic Logic” (The Cambridge Companion to the Stoics, org. Brad Inwood, Cambridge: Cambridge University Press, 2003, pp. 85–123), uma profunda análise da lógica estóica.

O puzzle lógico mais difícil de sempre

Há alguns anos, o lógico e especialista em puzzles Raymond Smullyan inventou um puzzle lógico que não tem adversários que eu conheça para o título de Puzzle Lógico Mais Difícil de Sempre. Apresentarei aqui o puzzle, darei a solução, e depois discutirei brevemente um dos seus aspectos mais interessantes.

Lógica e sistemas lógicos

O termo “lógica”, e muitos de seus derivados como “lógico”, “logicamente” e “ilógico”, aparecem em diversas instâncias do nosso discurso quotidiano. Muitas vezes nos perguntamos sobre a lógica de uma determinada afirmação, ou falamos, por exemplo, que é ilógico que certo enunciado ou hipótese seja verdade; ou que se certo enunciado A for verdade, logicamente o enunciado B será verdade; ou que é ilógico que acreditemos simultaneamente nos enunciados A e B.

Proposições aplicáveis a si mesmas

O Sr. L. Wittgenstein em seu Tractatus Logico-Philosophicus (p. 57) observa, o que muitas vezes, é claro, foi dito anteriormente, que nenhuma proposição pode “dizer seja o que for sobre si mesma” (“etwas über sich selbst aussagen”). Penso que há um sentido em que isso é claramente verdadeiro. Entretanto, a afirmação é bastante ambígua e requer uma especificação adicional.

Paradoxos

Os paradoxos são divertidos. Na maior parte dos casos, são fáceis de enunciar e imediatamente nos instam a tentar “resolvê-los”.

Nietzsche sobre a lógica

As críticas de Nietzsche à lógica ocupam um lugar muitíssimo peculiar na história da filosofia. Nos mais de cem anos desde que ficou louco, o conhecimento da lógica e a sensibilidade a ela tornou-se para muitos um sine qua non do filosofar.

Argumentos e explicações

Até aqui, aprendemos neste capítulo a reconhecer muitas espécies diferentes de argumentos, e começámos a aprender a analisá-los e a avaliá-los. Tendo chegado a este ponto, há uma tendência para ver argumentos em toda a parte, e mesmo para classificar como argumentos coisas que realmente não são, de todo, argumentos, apesar de poderem parecê-lo.

Excerto de um apócrifo de Platão

Sócrates — Assim, pretendes tu, meu jovem amigo, ser capaz de demonstrar-me que, dado que pretendo que todos os políticos são maçadores, estou racionalmente obrigado a aceitar que alguns poetas são maçadores. Por mim, não precisarias de esforçar-te muito. Para me persuadir de que alguns poetas são maçadores basta ler os que por aí andam, e por aí escrevem.

Realidade e forma lógica

Quase todas as pessoas que hoje conhecem a lógica formal beberam com o leite materno da sua formação uma ideia que há razões para pensar que é ilusória. A ilusão é semelhante à que respeita à concepção metafísica de analiticidade, rejeitada por Boghossian.

Lógica, psicologia e epistemologia

A lógica moderna começa com a rejeição do psicologismo, defendido por John Stuart Mill — e ainda hoje presente nas zonas mais anémicas da cultura. A ideia psicologista é cientificista: considerando, erradamente, que o que torna a física científica é a dependência da experiência segue-se que se a lógica ou a matemática quiserem ser científicas, terão de depender também da experiência.

Imensamente informativo

Susan Haack oferece neste livro um acesso fascinante à filosofia da lógica: área da filosofia que tem como objeto de estudo os problemas e fundamentos das diferentes lógicas. Este livro é um bom antídoto para professores de lógica que têm o hábito de apresentar apenas o cálculo bivalente proposicional e de predicados de primeira ordem.

Supressão de provas

A falácia da supressão de provas ou indícios é de tal modo grave que um biólogo, físico ou químico apanhado a fazer tal coisa perderá muito provavelmente o emprego, além de se tornar alvo da merecida reprovação por parte dos colegas.

Lógica matematizada

Richard Kaye é o autor deste exigente manual avançado de lógica moderna, apresentado do ponto de vista algébrico. A sua complexidade torna-o, paradoxalmente, um manual extremamente interessante para o leitor já experiente no material canónico da maioria dos livros introdutórios de lógica.

Definições: disjunção significa disfunção?

Muitas das pessoas que duvidam do seu carácter analítico concordam contudo com a afirmação de que uma solteirona é uma mulher em idade de casar que ainda não casou. É também provável que concordem que esta afirmação tem o ar de uma definição.

Argumentos indutivos, validade e força

A avaliação de argumentos indutivos coloca, por vezes, alguns problemas e dá, por vezes, origem a algumas confusões.

Prosa clara e rigor conceitual

Este livro introduz o leitor a uma das descobertas mais importantes do século XX: os teoremas da incompletude de Gödel.

Argumentos válidos formalmente inválidos

Faz-se por vezes algumas confusões no que respeita ao conceito de argumento formalmente inválido. Nomeadamente, pensa-se erradamente que se um argumento é formalmente inválido, então é inválido. Isso é falso. Há argumentos válidos formalmente inválidos.

Poderoso instrumento de estudo

Publicada inicialmente em Portugal, em 2001, pela Editora Gradiva, de Lisboa, sob a organização de João Branquinho e Desidério Murcho, a Enciclopédia de Termos Lógico-Filosóficos surge agora pela Editora Martins Fontes, como resultado de uma colaboração entre os mencionados autores portugueses e o brasileiro Nelson Gonçalves Gomes, da Universidade de Brasília.

O que é uma condição necessária?

Usa-se por vezes um certo tipo de exemplos de condicionais, em contextos didácticos, que, estritamente falando, não devem ser usados. Porque se usa esses exemplos, surgem perplexidades com respeito à definição de condição necessária. O objectivo deste artigo é mostrar que tais perplexidades têm origem no uso de exemplos inadequados, e explicar por que razão tais exemplos são inadequados.

A revolução silenciosa

Gödel (1906-78) foi o mais importante lógico do século XX. O seu teorema da incompletude da aritmética pôs fim ao sonho empirista e formalista dos positivistas. Mas o verdadeiro alcance das suas ideias foi tranquilamente ignorado praticamente até hoje. Gödel demonstrou que a ideia de que a matemática é apenas um jogo de símbolos é falsa.

Falácia dos quatro termos?

Considere-se o seguinte argumento: Premissa 1: O que é raro é valioso. Premissa 2: As jóias baratas são raras. Conclusão: As jóias baratas são valiosas. Aparentemente, as premissas deste argumento são verdadeiras e a conclusão falsa. Aparentemente, este é um argumento inválido. Também aparentemente, o argumento é inválido mas parece válido, caso em que estaríamos perante uma falácia.

Política, lógica e amor

Van Heijenoort (1912–1986) foi um destacado historiador da lógica formal, conhecido sobretudo por ter organizado a importante antologia From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic. Antes da sua carreira académica nos Estados Unidos da América, Heijenoort foi o secretário particular de Trotsky — um eufemismo para “guarda-costas”.

O mundo não respeita a lógica?

Um dos argumentos utilizados por subjetivistas é a de que o mundo não tem que respeitar as leis da lógica, que não passariam de convenções humanas. O jovem Nietzsche em carta a um amigo é um exemplo deste modo de pensar: “Meu caro, as visões da vida não são criadas nem anuladas pela lógica! Eu me encontro bem nestes ares, tu em outros. Respeita o meu nariz como eu respeito o teu!”.

Os instrumentos do ofício

Às vezes diz-se que a filosofia é uma disciplina dialéctica, querendo com isso dizer que a filosofia procede através de argumentos e contra-argumentos. É claro que, num certo sentido, todas as disciplinas dependem de argumentos, mas o raciocínio lógico tem na filosofia um papel proeminente.

Indução cogente

Num argumento indutivo as premissas são indícios a favor da conclusão ou hipótese. Ao contrário de um argumento dedutivo sólido, no qual as premissas implicam a conclusão, num argumento indutivo sólido as premissas não implicam a hipótese inferida.

Argumentação e lógica formal

O objectivo geral deste livro é apresentar os instrumentos básicos e os princípios do raciocínio correcto em argumentos, e sugerir como se devem adquirir processos habituais de ultrapassar as forças causais que minam o raciocínio.

Lógica informal

A Lógica Informal é uma tentativa de desenvolver uma lógica que possa ser usada para avaliar, analisar e aprimorar os raciocínios informais que ocorrem em relacionamentos interpessoais, propagandas, debates políticos, argumentos legais e nos comentários sociais encontrados em jornais, televisão, Internet e outras formas de comunicação de massa.

Conceitos, juízos e raciocínios

O objectivo destas páginas é esclarecer as noções de conceito, juízo e raciocínio. Estas noções surgem recorrentemente no ensino secundário. Todavia, graças à confusão da generalidade dos manuais disponíveis, professores e estudantes sentem-se perdidos quando se trata de compreender claramente estas noções centrais em filosofia.

Algumas noções de lógica

Todas as disciplinas têm um objecto de estudo. O objecto de estudo de uma disciplina é aquilo que essa disciplina estuda. Então, qual é o objecto de estudo da lógica? O que é que a lógica estuda? A lógica estuda e sistematiza a validade ou invalidade da argumentação. Também se diz que estuda inferências ou raciocínios. Podes considerar que argumentos, inferências e raciocínios são termos equivalentes.

Conceitos básicos de lógica

O objectivo da lógica consiste no estudo das formas de argumentação válidas. Esta é uma primeira caracterização abrangente da disciplina e, por essa razão, encontramo-la com frequência em textos introdutórios.

Implicação existencial: dois conceitos

De entre os conceitos cujo estudo faz parte do curriculum da cadeira de Lógica da licenciatura em Filosofia, um dos que mais dificuldades costuma trazer à aprendizagem do estudante médio é o conceito de implicação existencial.

Conteúdo empírico: um dogma persistente

É comum encontrar-se nos livros de filosofia afirmações como a de que as verdades da lógica não têm conteúdo factual, que nada dizem acerca do mundo, e, como tal, são imunes à refutação pela observação. Este é um dos dogmas mais enraizados do positivismo lógico. O objectivo deste artigo é desfazer o dogma.

Lógica chinesa?

A razão pelo qual decidi produzir este artigo deve-se à um problema essencialmente “ocidental” em relação ao pensar filosófico: existe ou não um sistema de lógica formal clássica na China?

Argumentos dedutivos e indutivos

É comum falar em argumentos dedutivos, opondo-os aos indutivos. Este artigo procura mostrar que há um conjunto de aspectos subtis que devem ser tidos em linha de conta, caso contrário será tudo muito confuso.

Lógica paraconsistente

Tradicionalmente, a presença de contradições em teorias, sistemas matemáticos ou mesmo no discurso usual sempre foi considerada como sintoma de erro. A própria idéia de racionalidade, de difícil explicação, parece passar pelo requisito da ausência de contradição. Alguém que se contradiz não pode ser “racional”, é o que geralmente se pensa.

Limites do papel da lógica na filosofia

Aristóteles considerava a lógica um instrumento filosófico imprescindível e a tradição escolástica cultivou a argumentação estritamente silogística. No entanto, a cultura filosófica está hoje dividida quanto ao papel da lógica na filosofia.

Lógica viva

Este livro de Priest desfaz vários equívocos sobre a lógica, é rigoroso e correcto, é estimulante e faz pensar. Não ensina lógica — mas não era esse o objectivo. O objectivo é oferecer ao leitor uma panorâmica geral da disciplina da lógica — que tipo de coisas se estuda em lógica?

Argumento, persuasão e explicação

Este artigo procura esclarecer dois aspectos relacionados e subtis da noção de argumento. Trata-se da noção especializada de argumento forte ou fraco e da distinção entre argumentos e explicações.

A lógica só é interessante quando se cala?

A lógica só é interessante quando se cala: eis a tese que a presente obra claramente refuta. Nunca, até O Lugar da Lógica na Filosofia, se tinha publicado em língua portuguesa uma obra que, de maneira simultaneamente acessível e rigorosa, apresentasse os elementos básicos da lógica — formal e informal — e, ao mesmo tempo, estabelecesse claramente o lugar da lógica na filosofia.

Moral da história?

No artigo “O Homem Que Queria Refutar Galileu” apresentámos o Modus Tollens (MT) e tentámos mostrar a sua simpática presença em tudo quanto é discussão: dos debates quotidianos à investigação científica.

Lógica indutiva e lógica dedutiva

Há uma velha tradição segundo a qual há dois ramos da lógica: a lógica dedutiva e a indutiva. Mais recentemente, as diferenças entre estas disciplinas tornaram-se tão profundas que a maior parte das pessoas usam hoje em dia o termo “lógica” com o significado de lógica dedutiva, reservando termos como “teoria da confirmação” para abranger pelo menos parte do que se costumava chamar “lógica indutiva”.

Lógica informal

Os filósofos procuram resolver problemas. É por isso que apresentam teorias, ideias ou teses. Estas três coisas não são exactamente o mesmo, mas para simplificar iremos falar apenas de teorias. A diferença é a seguinte: ao passo que uma teoria é uma forma completamente articulada de resolver um problema, uma ideia ou uma tese é algo mais vago.

Argumentar correctamente

Leo Groarke, no artigo acerca da lógica informal que escreveu para a Stanford Encyclopedia of Philosophy, refere a existência de três perspectivas principais acerca da investigação neste campo.

O homem que queria refutar Galileu

O desenvolvimento do espírito crítico é o objectivo mais consensual do ensino da filosofia. O que não é claro nem consensual é o modo como isso se faz. Penso que se exercita o espírito crítico tentando refutar (destruir, mostrar a falsidade de) as teses ou teorias com que deparamos. E tentar a refutação é ensaiar o Modus Tollens contra essas teses ou teorias.

Dummett e a interpretação intuicionista do teorema de Gödel

Em O Significado Filosófico do Teorema de Gödel, Michael Dummett propõe uma interpretação anti-realista dos resultados alcançados por Gödel acerca das limitações dos sistemas formais. Esta interpretação milita ainda a favor de uma concepção intuicionista da matemática.

Perplexidades lógicas

Este estudo tem por objectivo fornecer ao leitor já familiarizado com a lógica elementar alguns resultados menos evidentes cujo desconhecimento pode gerar alguma perplexidade.

Uma história de 358 anos

No final do Verão de 1994, depois de oito anos de trabalho intenso, o matemático Andrew Wiles estava disposto a admitir a derrota. O último teorema de Fermat parecia ter ficado uma vez mais por demonstrar.

Guia das falácias

O objectivo de um argumento é expor as razões (premissas) que sustentam uma conclusão. Um argumento é falacioso quando parece que as razões apresentadas sustentam a conclusão, mas na realidade não sustentam. Da mesma maneira que há padrões típicos, largamente usados, de argumentação correcta, também há padrões típicos de argumentos falaciosos. A tradição lógica e filosófica procurou fazer um inventário e dar nomes a essas falácias típicas e este guia faz a sua listagem.