Crítica

Paradoxo sem auto-referência

Por que são algumas frases paradoxais e outras não? Desde Russell, a resposta universal tem sido: circularidade, e, mais especificamente, auto-referência.¹

Não que a auto-referência seja suficiente para gerar paradoxos. Esta perspectiva é refutada pelo trabalho de Gödel e Tarski, e por vários exemplos de senso-comum, como “Pela última vez, pára com essa barulheira!” e “Ouve hoje, ó Deus de amor, este hino de louvor”. O que parece comum pensar é que algum tipo de auto-referência, directa ou mediada, é necessária para gerar paradoxos. Daí ouvir-se frequentemente que a forma mais segura de manter uma linguagem livre de paradoxos consiste em impor uma eliminação completa de toda a auto-referência. “Isto pode ser como matar moscas com um canhão”, diz-se, “mas ao menos mata a mosca”.

O problema é que não mata a mosca: paradoxos como o do mentiroso são possíveis apesar da eliminação completa da auto-referência. Imagine-se uma sequência infinita de frases S₁, S₂, S₃,…, em que cada uma considera que qualquer frase subsequente é uma não-verdade.

(S₁) para qualquer k > 1, S_k é uma não-verdade
(S ₂) para qualquer k > 2, S_k é uma não-verdade
(S ₃) para qualquer k > 3, S_k é uma não-verdade

Suponha-se por contradição que alguma S_n é verdadeira. Dado o que S_n diz, para qualquer k > n, S_k é uma não-verdade. Assim, (a) S_n+1 é uma não-verdade, e (b) para qualquer k>n+1, S_k é uma não-verdade. Por (b), o que S_n+1 diz ocorre de facto, de onde, contrariamente a (a) S_n+1 é verdadeira! Assim, qualquer frase S_n na sequência é uma não-verdade. Mas então todas as frases subsequentes a qualquer frase dada S_n são não-verdades e, por conseguinte, S_n é afinal verdadeira! Concluo que a auto-referência nem é necessária nem suficiente para paradoxos do tipo do paradoxo do mentiroso.