6 de Fevereiro de 2019 ⋅ Lógica

É lógico, Aristóteles

Desidério Murcho

Todas as pessoas usam inevitavelmente, e sempre usaram, raciocínios dedutivos das mesmas formas lógicas — uns válidos, outros inválidos. Isso é particularmente visível nos diálogos de Platão, mas também no pensamento clássico indiano e chinês. Porém, tal como há um abismo de diferença entre usar uma língua e sistematizar a sua gramática, também há uma diferença hiante entre usar raciocínios dedutivos e sistematizá-los. Tanto quanto se sabe, foi Aristóteles que empreendeu esse estudo pela primeira vez. E ele próprio se queixa de não se ter podido valer de estudos anteriores, ao contrário do que aconteceu nas outras áreas de investigação a que se dedicou:

Quanto ao tema da dedução não existia em absoluto coisa alguma anterior a mencionar; foi ao invés preciso trabalhar durante muito tempo em investigações experimentais. (Aristóteles, Refutações Sofísticas, 34, 184a)

É por isso razoável afirmar que quem pela primeira vez explicitou esses dois conceitos fundacionais, sem os quais não há lógica formal — validade e forma lógica — foi Aristóteles. Porém, o aluno de Platão não se limitou a definir explicitamente a validade de maneira fundamentalmente correcta; nem se limitou a descobrir o conceito de forma lógica. Como se isso não bastasse, deu conta de todas as validades e invalidades da classe muito restrita de raciocínios a que dedicou a sua investigação. Além disso, fê-lo de maneira aproximadamente axiomática e combinatória, numa época em que o próprio desenvolvimento axiomático da geometria de Euclides ainda estava por fazer (o grande geómetra nasceu aproximadamente vinte anos depois da morte de Aristóteles). Não parece um exagero afirmar que os feitos lógicos de Aristóteles revelam um gigante como há poucos.

A sua lógica, porém, tem deficiências de pormenor que a empurram para um beco sem saída teórico, no sentido de não permitir extensões poderosas. Numa ironia histórica curiosa, foi a lógica desenvolvida depois de Aristóteles, pelos estóicos (nomeadamente, Crísipo, que era aproximadamente vinte anos mais novo que Euclides), que se revelou a base de quase todos os desenvolvimentos lógicos actuais: foram eles que explicitaram o raciocínio verofuncional, que é a base de quase toda a dedução formal, incluindo a quantificada. A ironia é que foi a lógica de Aristóteles que mais influência exerceu no pensamento europeu ao longo da idade média e até finais do século XIX — apesar de ser a outra que guardava a chave dos desenvolvimentos posteriores.

Uma deficiência capital da lógica de Aristóteles é encarar a frase “Todo o grego é europeu” como se resultasse de acrescentar um quantificador a uma frase que tem a mesma estrutura lógica de “Sócrates é europeu”, o que é falso. Nesta última, atribui-se um predicado a “Sócrates”, que é um sujeito genuíno; mas na primeira “grego” não é realmente o sujeito da frase. O sujeito oculto só se revela na lógica actual, que especifica a forma lógica de “Todo o grego é europeu” como “Todo o sujeito que for grego é também europeu”. Dizer que todo o grego é europeu não é atribuir o predicado “europeu” ao sujeito “grego”, mas antes atribuir o predicado “europeu” a todo o sujeito que tiver o predicado “grego”. Para desenvolver a lógica de Aristóteles diz-se então que “grego”, naquela frase, é o termo sujeito; mas é da máxima importância não confundir termos sujeitos com sujeitos, pois os primeiros são na verdade predicados que estão num lugar sintáctico que noutras frases, ilusoriamente vistas como análogas, é ocupado por sujeitos genuínos.

Estas considerações explicam por que razão na lógica de Aristóteles o termo sujeito é permutável com o predicado, coisa que de facto não ocorre com sujeitos genuínos. Permutar o sujeito com o predicado na frase “Sócrates é grego” resulta na frase “Grego é Sócrates” que ou é apenas uma variação estilística mas quer dizer o mesmo que “Sócrates é grego”, ou não tem sentido; mas é evidente que a permutação é perfeitamente razoável na frase “Todo o grego é europeu” (ainda que a frase resultante seja falsa — mas uma frase só é falsa se tiver sentido), e não é uma mera variação estilística.

Acresce que ao considerar que a frase “Todo o grego é europeu” tem a forma “Todo o S é P”, introduz-se mais um aspecto enganador. Superficialmente, parece que as frases daquela forma têm três elementos: o quantificador “todo”, o termo sujeito S, o termo predicado P, e uma misteriosa “cola” que conecta ambos, a cópula “é”. Uma vez mais, isto decorre da analogia com frases como “Sócrates é europeu”, e esconde duas confusões. Em primeiro lugar, como se viu, o “é” daquela frase quantificada é muitíssimo diferente do “é” desta última, pois neste caso o verbo “ser” é usado predicativamente, mas não no caso de frases universalmente quantificadas. Não se trata de dizer que o sujeito “grego” tem o predicado “europeu”, mas antes que os sujeitos que têm o predicado “grego” também têm o predicado “europeu”. Em segundo lugar, imaginar que há uma “cola” que liga sujeitos a predicados, mesmo em frases como “Sócrates é europeu”, é enganador por duas razões. A primeira é que faz pensar erradamente que todas as frases com sentido têm a estrutura “S é P”; isto é obviamente falso, dado que “Sócrates é Sócrates” não tem aquela estrutura, para não falar de “Sócrates é mais sábio que Protágoras” ou de “Está nevoeiro”. A segunda é que se acaso fosse realmente preciso uma cópula para conectar sujeitos a predicados, isso daria início a uma regressão viciosa infinita. Pois imagine-se que na frase “Sócrates é europeu” é preciso uma cópula; nesse caso, será preciso outra cópula para conectar o sujeito à cópula, e uma terceira para conectar o sujeito à segunda cópula — e isto nunca mais acaba. A solução é eliminar esta conversa da cópula e afirmar que se atribui directamente ao sujeito “Sócrates”, sem precisar de intermediário, o predicado “ser europeu”. Em qualquer caso, é evidente que a cópula não é um elemento imprescindível numa frase com sentido devido a casos como “Está nevoeiro”.

A lógica de Aristóteles tem aspectos combinatórios, mas noutros aspectos cruciais não é combinatória. Nomeadamente, não o é quanto à formação de novas formas lógicas, além das quatro iniciais. Na lógica verofuncional, forma-se a partir de apenas cinco operadores (negação, disjunção, conjunção, condicional e bicondicional) um número infinito de formas lógicas, por mera combinatória sintáctica; mas na lógica de Aristóteles nunca se sai das quatro formas iniciais. Isto é uma limitação séria, pois não permite o imenso alcance da lógica actual. Um dos aspectos em que a lógica de Aristóteles é combinatória resulta do entendimento das componentes das suas quatro formas lógicas: quantificação (universal e particular), afirmação e negação. Combinando estes elementos, e tendo sempre apenas em mente a mesma estrutura, obtém-se as quatro formas originais, codificadas pelos medievais com as primeiras quatro vogais, A, E, I, O:

A teoria da conversão e a teoria do silogismo são as duas partes da lógica de Aristóteles, e a primeira é usada para provar resultados na segunda. Algumas inferências são por ele encaradas como axiomáticas: são insusceptíveis de prova e são usadas para provar as outras, exactamente como se faz na lógica clássica, em que se usa o modus ponens para provar a validade de outros raciocínios.

Na teoria da conversão emerge outro aspecto em que o pensamento de Aristóteles foi sistemático e combinatório. Caso se considere apenas as formas A-O, os raciocínios que resultam de mudar o termo sujeito para o termo predicado e vice-versa são apenas quatro:

  1. Todo o S é P; logo, todo o P é S.
  2. Nenhum S é P; logo, nenhum P é S.
  3. Algum S é P; logo, algum P é S.
  4. Algum S não é P; logo, algum P não é S.

A tarefa seguinte é determinar quais destas conversões são válidas, para depois perguntar o que se consegue fazer nos casos inválidos. Usando a lógica actual, que torna tudo mais simples, vê-se logo que a 2 é válida por contraposição, e a 3 devido à comutatividade da conjunção. A 4 é inválida, tal como a 1, mas esta última consegue-se converter enfraquecendo o quantificador: dado que todo o S é P, conclui-se validamente que algum P é S — em algumas condições a discutir já de seguida. Obtém-se assim dois tipos de conversões válidas: as simpliciter, com frases das formas E e I; e as per accidens, com as frases da forma A.

A partir do século XIX, a conversão per accidens viria a tornar-se uma dor de cabeça para gerações de estudantes e professores que descobriram espantados que afinal se conclui uma frase falsa de uma verdadeira em algumas partes da lógica de Aristóteles — quando supostamente a inferência seria válida. Considere-se a seguinte conversão per accidens:

Todos os selenitas são lunáticos.
Logo, alguns lunáticos são selenitas.

A premissa é vacuamente verdadeira porque é uma condicional universalmente quantificada com antecedente falsa; e mesmo na lógica de Aristóteles se vê que é verdadeira caso se considere que a sua contraditória, “Alguns selenitas não são lunáticos”, é falsa. Contudo, sem a conversão per accidens não se consegue provar a validade de alguns silogismos válidos. Consequentemente, para ser fiel ao método de prova de Aristóteles, é preciso excluir os termos vazios, como “selenitas”, “marcianos”, “sereias” e outras ameaças deste jaez. Claro que os termos que já se sabe que são vazios não levantam grandes dificuldades. O pior são os termos que não se sabe se são vazios ou não, como “divindades” ou “mónadas” — pois é perfeitamente razoável querer raciocinar validamente com eles, mas isso não é compatível com a aceitação da conversão per accidens.

De notar que não é preciso excluir termos vazios caso se entenda as frases da forma O como Aristóteles o fazia, assim como gerações de lógicos posteriores. Deste ponto de vista, a frase “Alguns selenitas não são lunáticos” é verdadeira, e não falsa, porque é interpretada como “Nem todo o selenita é lunático”, que realmente soa a verdadeira precisamente porque não há selenitas. Vendo as coisas desta maneira, a frase “Todos os selenitas são lunáticos” é falsa, e não verdadeira, também porque não há selenitas. Foi porque Aristóteles e gerações posteriores de lógicos entendiam as frases da forma O desta maneira que as conversões per accidens não exigiam a exclusão de termos vazios.

Contudo, à luz da lógica actual é muito difícil defender este entendimento das frases da forma O porque a negação de qualquer frase da forma “Dado qualquer sujeito, se for S, então é P” é falsa, e não verdadeira, quando não há sujeitos que sejam S — e isto deve-se à negação da condicional e não à negação do quantificador. O entendimento de Aristóteles obriga a considerar que as frases da forma A não são condicionais universalmente quantificadas, mas antes predicações como “Sócrates é europeu”, acrescidas apenas de um quantificador; diferem das frases da forma I apenas na quantificação, e não porque estas últimas sejam conjunções existencialmente quantificadas (“Existem sujeitos que são simultaneamente S e P”). Este entendimento faz da lógica de Aristóteles uma ilha, isolada da lógica verofuncional e por isso insusceptível de ser integrada naquela. Até que ponto terá isto contribuído para atrasar o desenvolvimento de uma lógica quantificada devidamente integrada na verofuncional? Em qualquer caso, é realmente intuitivo considerar que “Todo o selenita é lunático” é falsa porque parece limitar-se a atribuir um predicado a um sujeito inexistente; o preço a pagar, porém, parece demasiado alto.

Este caso encerra uma lição importante: no desenvolvimento de teorias, é preciso comparar prós e contras porque nenhuma é tão angélica que só tenha pontos a seu favor. Falando apenas dos casos com termos vazios, Aristóteles tem um entendimento intuitivo das frases da forma A (parecem falsas e ele considera-as falsas), mas contra-intuitivo no caso das da forma O (não parecem verdadeiras, mas ele considera-as verdadeiras); a imagem de espelho é o entendimento actual que é perfeitamente intuitivo no caso O (parecem falsas e são falsas), mas contra-intuitivo no caso A (são entendidas como verdadeiras mas parecem falsas). De modo que não é isto que desempata o debate, mas antes a consequência de ir na direcção de Aristóteles: não se consegue integrar a lógica verofuncional na quantificada porque não se vê as condicionais e conjunções ocultas.

Passando agora para a teoria silogística de Aristóteles, o objectivo é estudar a validade de raciocínios como o seguinte:

Todos os mamíferos são animais.
Todos os seres humanos são mamíferos.
Logo, todos os seres humanos são animais.

Apesar de a ordem das premissas ser logicamente irrelevante, neste e noutros casos seria mais intuitivo começar pela segunda; contudo, devido em parte à maneira algo bizarra como Aristóteles por vezes escrevia (“O mamífero é afirmado de todos os seres humanos”), a sua silogística está de cabeça para baixo — ironicamente, porque na maneira como ele escrevia pareceria de pernas para o ar se a ordem fosse invertida. Em qualquer caso, é aos raciocínios que têm este tipo de forma lógica que se chama hoje “silogismo”, mas é preciso ver que o termo grego original, “συλλογισμός”, quer dizer apenas “dedução”. Isto obriga a traduzir os textos de Aristóteles com subtileza interpretativa porque em alguns casos se trata do conceito genérico de dedução — que inclui a dedução das subalternas e as conversões — e noutros casos é este género muitíssimo delimitado de raciocínio que está em causa.

Nem todos os raciocínios com duas premissas e uma conclusão, e cujas frases sejam todas das formas A-O, são silogismos. O conceito de silogismo é bastante restrito e resulta de um dos aspectos em que o pensamento lógico de Aristóteles é combinatório. Partindo do primeiro exemplo, e isolando a sua forma lógica, compreende-se como Aristóteles terá pensado:

Todo o M é P.
Todo o S é M.
Logo, todo o S é P.

Mantém-se a estrutura “S é P”, como se vê, mas usa-se agora a letra M para aquele único termo que se repete nas premissas e que não ocorre na conclusão, e a que Aristóteles chama imaginativamente “termo médio”. Mantendo a conclusão intacta, e mudando nas premissas apenas a ordem dos termos, já se vê que se obtém mais três formas:

Todo o P é M.
Todo o S é M.
Logo, todo o S é P.

Todo o M é P.
Todo o M é S.
Logo, todo o S é P.

Todo o P é M.
Todo o M é S.
Logo, todo o S é P.

De notar que pedagogicamente se usou aqui apenas a quantificação universal e a afirmação; mas é evidente que agora é preciso introduzir mais estas diferenças na combinatória. Independentemente de se usar um ou outro dos quantificadores, contudo, e quer se afirme quer se negue, desde que a disposição relativa dos termos sujeito, predicado e médio seja como acima, diz-se que a forma silogística pertence à Figura I, II, III ou IV. (Esta última não foi considerada por Aristóteles porque é redundante.) Além de pertencer a uma dada figura, os silogismos têm também modos, que dizem respeito apenas a qual das quatro formas pertencem as premissas e a conclusão; assim, um silogismo no modo AAA é constituído por três frases da forma A.

Os modos e as figuras desempenham unicamente o papel de permitir fazer a lista exaustiva de todas as formas silogísticas. Por sua vez, isto só é importante para determinar depois quais delas são válidas e quais são inválidas. A maneira de determinar quantos modos há é óbvia: uma vez que na lógica de Aristóteles só se usa frases de uma de quatro formas, e uma vez que os silogismos só têm três frases, a combinatória completa de modos é 43 = 64. Considerando as quatro figuras, obtém-se 64 × 4 = 256 silogismos com formas lógicas diferentes. Esta é a combinatória completa. (A título comparativo, note-se que na lógica verofuncional actual se obtém por combinatória um número infinito de raciocínios com formas lógicas diferentes.) O trabalho seguinte é determinar quais são válidos e quais são inválidos.

Aristóteles usava, como hoje, dois tipos de prova: directa e por reductio. Em ambos os casos, é preciso partir de alguns silogismos dados como obviamente válidos (Aristóteles chamava-lhes “perfeitos” ou “completos”) e, em conjunção com a teoria da conversão, prova-se então que outro silogismo é também válido. Entre os silogismos “perfeitos” estão os das seguintes formas lógicas, cujos nomes foram dados pelos medievais:

Bárbara
Todo o M é P.
Todo o S é M.
Logo, todo o S é P.

Celarent
Nenhum M é P.
Todo o S é M.
Logo, nenhum S é P.

Para ver um exemplo de como Aristóteles provava os seus resultados, considere-se a seguinte forma silogística:

Todo P é M.
Nenhum S é M.
Logo, nenhum S é P.

Eis como Aristóteles prova a validade dos silogismos desta forma lógica:

Se M pertence a todo o P, mas a nenhum S, então P irá pertencer a nenhum S. Pois se M pertence a nenhum S, S pertence a nenhum M; mas M (como se disse) pertence a todo o P; S irá então pertencer a nenhum P; pois formou-se de novo a primeira figura. Mas dado que a negativa se converte, P irá pertencer a nenhum S. (Analíticos Anteriores I.5, 27a)

A expressão “M pertence a todo o P” é uma maneira de dizer que todo o P é M. O raciocínio de Aristóteles é estão o seguinte:

1. Todo P é M. Premissa
2. Nenhum S é M. Premissa
3. Nenhum M é S. 2, conversão simpliciter
4. Nenhum P é S. 1, 3, Celarent
5. Nenhum S é P. 4, conversão simpliciter

Com provas directas como esta, e outras por reductio, consegue-se então provar que há apenas vinte e quatro silogismos válidos com formas diferentes. Depois de estabelecida a lista completa de todos os silogismos diferentes com formas lógicas válidas, Aristóteles pergunta-se: o que têm em comum os válidos, que os distinga dos inválidos? É desta análise que resulta o que depois foi usado como “regras” para determinar a validade dos silogismos. Isto é duplamente irónico porque, em primeiro lugar, são resultados metalógicos de Aristóteles, ou seja, emergem da análise dos resultados da sua teoria lógica; não são constitutivos desta. O que é constitutivo da sua teoria lógica é a maneira como ele provava os seus resultados, seja directamente seja por reductio. Em segundo lugar, a ironia é que as tradicionalmente denominadas “regras” não são regras em qualquer sentido lógico do termo porque não são regras de inferência, por um lado e, por outro, porque não se aplicam ao raciocínio dedutivo em geral. Em suma: a lógica de Aristóteles tal como é tradicionalmente ensinada é uma mentira pedagógica, no sentido em que se consegue o feito impressionante de não se saber lógica alguma apesar de se saber dizer correctamente se um silogismo é válido ou não.

Eis então os resultados da análise de Aristóteles:

  1. Nenhum silogismo válido tem duas premissas negativas.
  2. Nenhum silogismo válido tem duas premissas particulares.
  3. Quando um silogismo válido tem conclusão afirmativa, tem duas premissas afirmativas.
  4. Quando um silogismo válido tem conclusão negativa, tem também uma premissa negativa.
  5. Quando um silogismo tem conclusão universal, tem duas premissas universais.

Como é evidente, estas não são regras de inferência, no sentido em que não visam permitir partir de duas premissas para conseguir chegar validamente a uma conclusão — até porque isso já foi feito. Considere-se de novo a forma seguinte:

Todo P é M.
Nenhum S é M.
Logo, nenhum S é P.

Aplicando as “regras”, consegue-se determinar que qualquer silogismo desta forma é válido porque não as viola. Porém, isto não é um exercício de raciocínio lógico — nem foi isso que fez Aristóteles — porque não explica por que razão são esses raciocínios válidos, nem como se chega validamente à conclusão partindo das premissas. Acresce que as cinco “regras” não são princípios lógicos genuínos, que se apliquem a qualquer raciocínio válido. Nada impede um raciocínio válido de violar qualquer uma das cinco “regras”; isso apenas não acontece, um pouco por acaso, nos silogismos.

A investigação lógica de Aristóteles é um feito impressionante. Contudo, as lições que tirou do reduzido leque de raciocínios válidos que estudou são ilusórias; não são princípios lógicos em qualquer sentido significativo do termo. São aspectos exclusivamente daquele punhado de raciocínios a que hoje chamamos “silogismos”. É um pouco como se Euclides analisasse apenas círculos e ovais, pretendendo então retirar daí lições geométricas significativas.

Desidério Murcho

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