O puzzle lógico mais difícil de sempre

Há alguns anos, o lógico e especialista em puzzles Raymond Smullyan inventou um puzzle lógico que não tem adversários que eu conheça para o título de Puzzle Lógico Mais Difícil de Sempre. Apresentarei aqui o puzzle, darei a solução, e depois discutirei brevemente um dos seus aspectos mais interessantes.

Eis o puzzle: três deuses, A, B e C chamam-se, numa certa ordem, Verdadeiro, Falso e Aleatório. O Verdadeiro diz sempre verdades, o Falso diz sempre falsidades, mas se o Aleatório diz verdades ou falsidades é uma questão completamente aleatória. A sua tarefa é determinar as identidades de A, B e C fazendo três perguntas de resposta “sim”/”não”; cada pergunta tem de ser feita a exactamente um deus. Os deuses compreendem português, mas responderão a todas as perguntas na sua própria língua, na qual as palavras para “sim” e “não” são “da” e “ja”, numa certa ordem. Você não sabe que palavra significa o quê.¹

Antes de apresentar a solução, um tanto ou quanto longa, seja-me permitido dar respostas a algumas perguntas que se levantam ocasionalmente sobre o puzzle:

1. Pode acontecer que a algum deus seja feita mais de uma pergunta (e, logo, que a algum deus não seja feita qualquer pergunta).
2. Qual é a segunda pergunta, e a que deus é feita, pode depender da resposta à primeira pergunta. (E, claro, de igual modo para a terceira pergunta.)
3. Devemos pensar que o Aleatório diz a verdade ou não dependendo do lançamento de uma moeda escondida no seu cérebro: se a moeda sair caras, diz a verdade; se sair coroas, falsidade.
4. O Aleatório responderá “da” ou “ja” quando lhe for feita qualquer pergunta de resposta “sim”/“não”.

A solução: antes de resolver o Puzzle Lógico Mais Difícil de Sempre, vamos apresentar e resolver três puzzles relacionados mas muito mais fáceis. Iremos depois juntar as ideias das suas soluções para resolver o Puzzle Mais Difícil. Os últimos dois puzzles são de um tipo com o qual o leitor pode estar bastante familiarizado, mas o primeiro não é muito conhecido (de facto, o autor inventou-o enquanto pensava no Puzzle Mais Difícil).

Puzzle 1: Notando as suas posições, coloco em linha dois ases e um valete numa mesa, virados para baixo; você não vê onde é colocada cada carta. O seu problema consiste em apontar para uma das três cartas e depois fazer-me uma única pergunta de resposta “sim”/“não”, da resposta à qual consegue, com certeza, determinar que uma das três cartas é um ás. Se apontar para um dos ases, irei responder à sua pergunta com a verdade. Contudo, se apontar para o valete irei responder “sim” ou “não” à sua pergunta de um modo completamente aleatório.

Puzzle 2: Suponha-se que o leitor descobriu, de alguma forma, que está a falar não com o Aleatório mas com o Verdadeiro ou o Falso — não sabe qual — e que, qualquer que seja o deus com que está a falar, ele dignou-se a responder-lhe em português. Por alguma razão, precisa de saber se Duchambe é no Quirguistão ou não. Que pergunta única de resposta “sim”/“não” poderá fazer ao deus, cuja resposta lhe permita determinar se Duchambe é no Quirguistão ou não?

Puzzle 3: Agora está de certeza a falar com o Verdadeiro, mas ele recusa-se a responder em português e irá apenas dizer “da” ou “ja”. Que pergunta única de resposta “sim”/“não” pode fazer ao Verdadeiro para determinar se Duchambe é no Quirguistão ou não?

Eis uma solução para o puzzle 1: aponte para a carta do meio e pergunte “A carta da esquerda é um ás?” Se eu responder “sim”, escolha a carta da esquerda; se responder “não”, escolha a da direita. Quer a carta do meio seja um ás ou não, terá a certeza de encontrar um ás ao escolher a carta da esquerda se me ouvir responder “sim” e ao escolher a carta da direita se ouvir “não”. A razão é que se a carta do meio é um ás, a minha resposta é verdadeira, e assim a carta da esquerda é um ás se responder “sim” e a carta da direita é um ás se responder “não”. Mas se a carta do meio for o valete, então ambas as outras cartas são ases, e assim mais uma vez a carta da esquerda é um ás se responder “sim” (também o é a carta da direita mas isso agora é irrelevante) e a carta da direita é um ás se responder “não” (tal como o é a carta da esquerda, o que é irrelevante, mais uma vez).

Para resolver os puzzles 2 e 3 usaremos sse.

Os lógicos introduziram a útil sigla “sse”, abreviatura de “se e somente se”. O modo como “sse” funciona em lógica é o seguinte: quando se insere “sse” entre duas afirmações que são ambas verdadeiras ou ambas falsas, obtém-se uma afirmação verdadeira; mas se for inserida entre uma afirmação verdadeira e uma falsa, obtém-se uma afirmação falsa. Assim, por exemplo, “A Lua é feita de Gorgonzola sse Roma é na Rússia” é verdadeira, pois “A Lua é feita de Gorgonzola” e “Roma é na Rússia” são ambas falsas. Mas “A Lua é feita de Gorgonzola sse Roma é em Itália” e “A Lua não tem ar sse Roma é na Rússia” são falsas. Contudo, “A Lua não tem ar sse Roma é em Itália” é verdadeira. (“Sse” nada tem a ver com causas, explicações, ou leis da natureza.)

Para resolver o puzzle 2 faça ao deus não a pergunta simples “Duchambe é no Quirguistão?” mas a pergunta mais complexa “És o Verdadeiro sse Duchambe é no Quirguistão?” Há então (na ausência de qualquer informação geográfica) quatro possibilidades:

1. O deus é o Verdadeiro e D. É em Q.: então o leitor obtém a resposta “sim”.
2. O deus é o Verdadeiro e D. não é em Q.: desta vez o leitor obtém “não”.
3. O deus é o Falso e D. É em Q.: o leitor obtém a resposta “sim” porque apenas uma afirmação é verdadeira, logo a resposta correcta é “não”, e o deus, que é o Falso, responde falsamente “sim”.
4. O deus é o Falso e D. não é em Q.: neste último caso, o leitor obtém a resposta “não” porque ambas as afirmações são falsas, a resposta correcta é “sim”, e o deus Falso responde falsamente “não”.

Deste modo, o leitor obtém uma resposta afirmativa para aquela pergunta complexa se D. for em Q., e uma resposta negativa se não for, indiferentemente de com qual do deus, Verdadeiro ou Falso, estiver a falar. Considerando a resposta à pergunta complexa, consegue descobrir se D. É em Q. ou não.

O aspecto a ter em atenção é que se perguntar quer ao Verdadeiro quer ao Falso “És o Verdadeiro sse X?” e receber a sua resposta em português, então obtêm a resposta “sim” se X for verdadeira e “não” se X for falsa, independentemente de estar a falar com um ou outro deus.

A solução para o puzzle 3 é muito parecida: não pergunte ao Verdadeiro “Duchambe é no Quirguistão?” mas antes ““Da” significa sim sse D. É em Q.?” Há outra vez quatro possibilidades:

1. “Da” significa sim e D. É em Q.: então o Verdadeiro responde “da”.
2. “Da” significa sim e D. não é em Q.: então o Verdadeiro responde “ja” (que significa não).
3. “Da” significa não e D. É em Q.: então o Verdadeiro responde “da” (que significa não).
4. “Da” significa não e D não é em Q.: então ambas as afirmações são falsas, a afirmação ““Da” significa sim sse D. É em Q”. é verdadeira, a resposta correcta (em português) à nossa pergunta é “sim” e, portanto, o Verdadeiro responde “ja”.

Assim, o leitor obtém a resposta “da” se D. É em Q., e a resposta “ja” se não for, independentemente de “da” e “ja” significarem sim ou não.

O aspecto desta vez é que se o leitor perguntar ao Verdadeiro ““Da” significa sim sse Y?” então obtém a resposta “da” se Y for verdadeira, e obtém a resposta “ja” se Y for falsa, independentemente de qual das expressões significa o quê.

Juntando os dois aspectos, vemos que se o leitor fizer ao Verdadeiro ou ao Falso (que supomos novamente só responder “da” e “ja”) a pergunta muito complexa ““Da” significa sim sse és o Verdadeiro sse X?”, então irá obter a resposta “da” se X for verdadeira, e a resposta “ja” se X for falsa, independentemente dos significados de “da” e “ja”.

Podemos agora resolver o Puzzle Lógico Mais Difícil de Sempre.

O seu primeiro passo é descobrir um deus quanto ao qual possa ter a certeza de não ser o Aleatório e, logo, que seja ou o Verdadeiro ou o Falso.

Para tal, dirija-se a A e faça a Pergunta 1: “Da” significa sim sse és o Verdadeiro sse B é o Aleatório? Se A for o Verdadeiro ou o Falso e o leitor obtiver a resposta “da”, então, como vimos, B é o Aleatório, e portanto C é ou o Verdadeiro ou o Falso; mas se A for o Verdadeiro ou o Falso e o leitor obtiver a resposta “ja”, então B não é o Aleatório, portanto B é ou o Verdadeiro ou o Falso.

Mas e se A for o Aleatório?

Se A for o Aleatório, então nem B nem C são o Aleatório!

Assim, se A for o Aleatório e o leitor obtiver a resposta “da”, C não é o Aleatório (nem o é B, mas isto é irrelevante), e por conseguinte C é ou o Verdadeiro ou o Falso; e se A é o Aleatório e o leitor obtiver a resposta “ja”, B não é o Aleatório (nem o é C, o que é irrelevante) e portanto B é ou o Verdadeiro ou o Falso.

Logo, indiferentemente de A ser o Verdadeiro, o Falso, ou o Aleatório, se obtiver a resposta “da” à Pergunta 1, C é ou o Verdadeiro ou o Falso, e se obtiver a resposta “ja”, B é ou o Verdadeiro ou o Falso!

Agora dirija-se ao B ou C, que acabou de descobrir ser ou o Verdadeiro ou o Falso — suponhamos que é o B (se for o C substitua apenas o nome B por C no que se segue) — e faça a Pergunta 2: “Da” significa sim sse Roma é em Itália? O Verdadeiro responderá “da”, e o Falso responderá “ja”. Portanto, com duas perguntas, ou identificaram B como o Verdadeiro ou identificaram B como o Falso.

Para a nossa terceira e última pergunta dirija-se outra vez a B, que ou identificou já como o Verdadeiro ou identificou como o Falso, e faça a Pergunta 3: “Da” significa sim sse A é o Aleatório?

Suponha-se que B é o Verdadeiro. Então, se obtiver a resposta “da”, então A é o Aleatório e portanto A é o Aleatório, B é o Verdadeiro, C é o Falso e você resolveu o puzzle; mas se obtiver a resposta “ja”, então A não é o Aleatório, logo A é o Falso, B é o Verdadeiro, C é o Aleatório e você resolveu o puzzle outra vez.

Suponha-se que B é o Falso. Então, se obtiver a resposta “da”, como B só diz falsidades, A não é o Aleatório, e portanto A é o Verdadeiro, B é o Falso, C é o Aleatório e você resolveu o puzzle; mas se obtiver “ja”, então A é o Aleatório e por conseguinte B é o Falso e C é o Verdadeiro e você resolveu o puzzle outra vez. FINIS.

Bem, eu não estava a falar falsa ou aleatoriamente quando disse que o puzzle era difícil, pois não?

Um breve comentário sobre a importância do Puzzle Lógico Mais Difícil de Sempre:

Há uma lei da lógica que se chama “lei do terceiro excluído”, de acordo com a qual ou X é verdadeira ou não X é verdadeira, para toda e qualquer afirmação X. (“A lei da não contradição” assevera que as afirmações X e não X não são ambas verdadeiras.) Os matemáticos e filósofos atacaram ocasionalmente a ideia de que o terceiro excluído é uma lei logicamente válida. Não podemos esperar resolver aqui a discussão, mas podemos observar que a nossa solução para o puzzle 1 fez um uso indispensável do terceiro excluído, precisamente quando dissemos “quer a carta do meio seja um ás quer não...”. Tendo em conta o Puzzle Lógico Mais Difícil de Sempre, e ainda mais manifestamente o puzzle 1, é claro que a nossa capacidade para raciocinar sobre possibilidades alternativas, mesmo no dia-a-dia, seria quase completamente paralisada caso nos fosse negado o uso da lei do terceiro excluído.

A propósito, Duchambe é no Tajiquistão, e não no Quirguistão.²

Notas

1. A surpresa adicional de não se saber quais são as palavras dos deuses para “sim” e “não” deve-se ao cientista da computação John McCarthy.
2. Uma versão deste artigo, traduzida por Massimo Piattelli-Palmarini, apareceu em La Repubblica a 16 de Abril de 1992, sob o título “L’indovinello più difficile del mondo”.