Popper e a lógica da mecânica quântica

Terminou recentemente o centenário do nascimento de Karl Popper, em 2002, e com isso as celebrações, os congressos e as comemorações, das quais participou também a comunicação social. Popper é de fato um dos poucos pensadores interessados nos problemas científicos cujo nome se tornou conhecido do público mais amplo. Todavia, um assunto ao qual foi dedicada pouca atenção diz respeito aos erros científicos de Popper, que também teve a sorte de interagir com alguns dos cientistas mais importantes do século XX, de Einstein a Heisenberg. Sobre a mecânica quântica, em particular, Popper difundiu alguns mal-entendidos matemáticos e físicos bastante graves. Há um episódio pouco notado, do qual vale a pena recontar a história. Em 1968, Popper publica na revista Nature um artigo intitulado “Birkhoff and Von Neumann's Interpretation of Quantum Mechanics”. Trata-se de uma crítica radical da abordagem baseada na lógica quântica, que Garrett Birkhoff e John Von Neumann haviam proposto num célebre artigo publicado em 1936. Popper escreve:

“A minha tese é que a proposta de Birkhoff e von Neumann é insustentável. Isto depende em parte de algumas descobertas feitas por John von Neumann no campo da teoria dos reticulados [...] mas também de alguns resultados muito simples da teoria da probabilidade”.

Ao que parece, a intenção de Popper é criticar Birkhoff e von Neumann usando os seus próprios resultados algébricos. Qual poderia ser o motivo de uma intervenção assim tardia, 32 anos depois da publicação do trabalho de Birkhoff e von Neumann? Uma resposta parcial a esta pergunta é dada pelo próprio Popper: trata-se de “um artigo que após 32 anos é ainda muito influente”. Com efeito, os anos sessenta haviam representado um período de renascimento para a pesquisa no campo da lógica quântica, para o qual haviam contribuído G. Mackey, J. Jauch, C. Pirron, P. Suppes, P. Mittelstaedt e muitos outros.

A crítica de Popper deu origem a uma viva troca de correspondência entre Popper e Joseph Jauch, que em 1968 havia publicado o livro Foundations of Quantum Mechanics, destinado a tornar-se um ponto de referência para a pesquisa lógico-matemática sobre a mecânica quântica. Numa destas cartas (que foi gentilmente transmitida por Peter Mittelstaedt) Jauch escreveu:

“O senhor publicou numa revista de grande difusão uma crítica de um importante artigo que certamente contém mal-entendidos. Eu tentei sugerir-lhe que o senhor mesmo corrigisse seus erros [...] Não escreveu o senhor mesmo na Sociedade Aberta e seus Inimigos que o espírito da ciência é a crítica?”

Popper não se deixou convencer pelas objeções de Jauch. A sua resposta foi:

“O senhor me recorda a minha crença de que “o espírito da ciência é a crítica”. Não vejo o que possa dar-lhe o direito de supor que seja necessário recordar-me. Não compreendo o que pretende com a sua observação, a menos que queira acusar-me de desonestidade”.

Do ponto de vista matemático Jauch tinha certamente razão. No entanto, caiu talvez num “erro psicológico”. Ao invés de esclarecer com precisão os passos incorretos do raciocínio de Popper, preferiu remeter à bibliografia sobre o assunto (que incluía o seu livro recém-publicado). Popper não queria aceitar aquilo que lhe parecia um apelo a um “princípio de autoridade”. No mesmo período, J. Pool e A. Ramsey enviaram à Nature uma nota crítica sobre o artigo de Popper. Mas, estranhamente, a revista nunca publicou sua intervenção.

A estrutura lógica dos eventos quânticos

Para seguir o raciocínio de Popper, será útil recordar alguns pontos fundamentais do trabalho de Birkhoff e von Neumann. O seu artigo The Logic of Quantum Mechanics começa com a seguinte observação:

“Um dos aspectos da teoria quântica que atraiu maior atenção geral diz respeito à novidade das noções lógicas que a teoria pressupõe [...] O objeto deste trabalho será descobrir que estruturas lógicas podemos esperar encontrar em teorias físicas que, como a mecânica quântica, não obedecem à lógica clássica”.

Mas por que a mecânica quântica não obedece à lógica clássica? Uma diferença fundamental entre a mecânica clássica e a quântica diz respeito à representação matemática dos estados puros dos sistemas físicos estudados. Consideremos um sistema físico clássico ou quântico: por exemplo, um objeto macroscópico (como uma pedra) ou uma partícula microscópica (como um elétron ou um fóton). O que se entende por um estado puro de tal sistema? Tanto na teoria clássica quanto na quântica, um estado puro corresponde a um máximo de informação que um observador pode ter com respeito ao sistema estudado, uma informação que não pode ser estendida, de modo coerente, a um conhecimento mais rico. Nem mesmo uma hipotética mente onisciente poderia saber mais! No entanto, os estados puros clássicos e quânticos se comportam de modo muito diferente. Na mecânica clássica, cada informação maximal é logicamente completa. Isto significa que os estados puros estão em condição de decidir todos os eventos físicos que podem ocorrer ao sistema físico estudado. Por exemplo, seja s um estado puro de um objeto clássico e consideremos o evento “a velocidade é nula”. A pergunta “o sistema no estado puro s tem velocidade nula?” admite uma resposta binária: sim ou não. Do ponto de vista lógico, costuma-se dizer que vale o princípio semântico do terceiro excluído: cada afirmação sobre eventos é verdadeira ou falsa com respeito a qualquer que seja o estado puro s. Tertium non datur! (Não há terceiro caso!)

Neste contexto, tem sentido representar matematicamente os eventos que podem ocorrer a um sistema físico clássico como conjuntos particulares de estados puros: cada evento será representado pelo conjunto de todos os estados puros que verificam tal evento. No exemplo anterior, o evento “a velocidade é nula” será representado pelo conjunto de todos os estados puros que respondem “sim” à pergunta “a velocidade é nula?” De modo similar, quando se faz semântica clássica, costuma-se representar matematicamente as propriedades das quais podem gozar os objetos estudados com particulares conjuntos. Por exemplo, o conjunto que representa a propriedade “ser belo” será constituído por todos os objetos belos. Se representarmos os eventos com conjuntos particulares, torna-se natural estudar como se combinam por meio do uso de operações lógicas. É possível negar um evento dado, ou fazer a conjunção ou disjunção de dois eventos. Exemplos de eventos compostos (obtidos por negação, conjunção e disjunção) são os seguintes:

1. “A velocidade não é nula”;
2. “A velocidade é nula e o valor da massa é um grama”;
3. “A velocidade é nula ou o valor da massa é um grama”.

Como se comportam a negação, a conjunção e a disjunção com respeito aos conjuntos que representam os diversos eventos? O conjunto que representa um evento negado (“a velocidade não é nula”) será o conjunto de todos os estados puros que não verificam o evento positivo (ou seja, o complemento conjuntista relativo do conjunto originário). O conjunto que representa uma conjunção de eventos (“a velocidade é nula e o valor da massa é um grama”) será o conjunto dos estados puros que verificam ambos os membros da conjunção (a interseção dos dois conjuntos originários). Analogamente, o conjunto que representa uma disjunção de eventos (“a velocidade é nula ou o valor da massa é um grama”) será o conjunto dos estados puros que verificam ao menos um membro da disjunção (a união dos dois conjuntos originários). Sobre esta base resulta que os eventos da mecânica clássica dão origem a uma estrutura algébrica canônica, chamada álgebra de Boole (ver nota 1). Diz-se também que os eventos físicos clássicos têm um comportamento algébrico de tipo booliano.

Ora, a classe das álgebras de Boole determina de modo natural uma lógica particular. O que se entende exatamente por “lógica”? Na acepção mais geral, uma lógica representa uma teoria cujo conceito fundamental é a relação de consequência lógica. Trata-se de responder à pergunta: o que significa que uma proposição, expressa numa dada linguagem, se segue logicamente de outras proposições, consideradas como premissas? As leis de uma dada lógica são as proposições que se seguem logicamente do conjunto vazio de premissas, ou seja, que valem em absoluto, independentemente de qualquer hipótese. Demonstra-se que a classe das álgebras de Boole permite caracterizar, através de uma semântica particular de tipo algébrico, aquela a que estamos habituados a chamar “lógica clássica”. Apesar das álgebras de Boole poderem ter também um número infinito de elementos, as álgebras que “contam” para caracterizar a lógica clássica contêm apenas dois elementos: o valor de verdade Verdadeiro (1) e o valor de verdade Falso (0). A lógica clássica é assim essencialmente bivalente: situações semânticas indeterminadas não são consideradas.

O que ocorre no caso da mecânica quântica? E por que esta teoria não obedece à lógica clássica? Diferentemente da mecânica clássica, a mecânica quântica é essencialmente probabilística. Vale o célebre princípio de indeterminação de Heisenberg: existem pares de grandezas físicas incompatíveis, às quais nenhum estado puro pode atribuir simultaneamente um valor preciso.

Exemplos típicos de grandezas incompatíveis são: a posição e a velocidade, o spin numa certa direção e o spin numa direção diferente. Vejamos o caso de um sistema quântico constituído, por exemplo, por um único elétron. Os estados quânticos puros geralmente vêm indicados através das letras gregas ψ, Φ... Suponhamos que o nosso elétron, no estado ψ, tenha um valor determinado para a grandeza spin na direção x (por exemplo, que o spin na direção x seja para cima). Agora, pelo princípio de indeterminação, o valor do spin em qualquer outra direção será absolutamente indeterminado. Portanto, o evento “o spin na direção z é para cima” não será decidido pelo estado ψ.

Nesta situação, os estados puros não estão em condições de decidir todos os eventos quânticos. Em geral, cada estado puro associará a um dado evento não o valor de verdade Verdadeiro ou Falso, mas apenas um valor de probabilidade (um número real compreendido entre 0 e 1). Portanto, pode acontecer que um evento seja indeterminado com respeito a certo estado puro: o seu valor de probabilidade é diferente tanto de 0 quanto de 1. O princípio semântico do terceiro excluído é violado: Tertium datur! (Há terceiro caso!)

Apesar de estarem representando máximos de informações, os estados puros não são logicamente completos. É como se o mundo dos quanta colocasse profundas limitações epistêmicas não só à comunidade dos físicos, mas até mesmo a hipotéticas mentes oniscientes.

O que dizer então da estrutura algébrica dos eventos quânticos? A maior novidade da proposta de Birkhoff e von Neumann é fundada sobre a seguinte ideia: os representantes matemáticos dos eventos quânticos não são meros conjuntos, mas sub-espaços fechados de particulares espaços vetoriais, os chamados espaços de Hilbert (ver nota 2). De um ponto de vista intuitivo, um espaço de Hilbert H pode ser imaginado como uma espécie de “ambiente matemático”, onde “vivem” todos os representantes matemáticos dos conceitos físicos relativos ao sistema quântico estudado. Neste ambiente abstrato, os estados puros correspondem a particulares vetores do espaço. Em seguida, faz-se a convenção de que um estado puro verifica certo evento quando lhe atribui probabilidade 1.

Surge a pergunta: o que significam negação, conjunção e disjunção no mundo dos eventos quânticos? Comecemos com a negação. De um ponto de vista intuitivo, é razoável esperar que a propriedade fundamental da qual a negação quântica deve gozar seja a seguinte: um estado puro ψ associa à negação de um evento probabilidade 1 se, e somente se, ψ associa ao evento positivo probabilidade 0. Simetricamente, no caso da probabilidade 0.

Por exemplo, suponha-se que o estado puro atribui probabilidade 1 ao evento “a velocidade é nula”. Então (e somente então) ψ deverá atribuir probabilidade 0 ao evento negado “a velocidade não é nula”. Mas os estados que atribuem probabilidade 0 ao evento “a velocidade é nula” são obviamente uma minoria com respeito aos estados que atribuem a este evento uma probabilidade diferente de 1. Isto porque, como sabemos, existem “muitos” estados puros para os quais o evento “a velocidade é nula” é indeterminado (ou seja, seu valor de probabilidade é diferente tanto de 1 quanto de 0). Acontece que, neste contexto, a negação não pode ser “bem representada” pelo complemento conjuntista (que “capta” muitos estados puros que não satisfazem a condição desejada). Todavia, observam Birkhoff e von Neumann, é possível recorrer a outra “boa” operação definida no conjunto dos eventos quânticos, a operação chamada ortocomplemento (ver nota 3). Demonstra-se que: o ortocomplemento de um evento capta exatamente todos os estados puros que atribuem probabilidade 0 ao evento originário. Portanto, o ortocomplemento representa uma realização adequada da negação quântica.

Com relação à conjunção, Birkhoff e von Neumann observam que ainda é possível representá-la por meio da interseção conjuntista (como na mecânica clássica). Por exemplo, teremos que: um estado puro atribui valor de probabilidade 1 à conjunção de eventos “a velocidade é a da luz e a massa é nula” se, e somente se, o nosso estado atribui probabilidade 1 a ambos os membros da conjunção.

O que dizer da disjunção? Como ocorre na lógica clássica, seria razoável aceitar que também nos contextos quânticos o comportamento da disjunção depende do comportamento da negação e da disjunção. De fato, afirmar uma disjunção significa negar a conjunção das negações dos dois membros da disjunção. Por exemplo, os dois eventos seguintes têm claramente o mesmo significado:

1. “O spin na direção x está para cima ou o spin na direção x está para baixo”;
2. “Não ocorre que: o spin na direção x não esteja para cima e o spin na direção x não esteja para baixo”.

O resultado é um comportamento profundamente anômalo da disjunção quântica (que depende das características da negação quântica): uma disjunção pode ser verificada por um estado puro também quando os seus membros são ambos absolutamente indeterminados! Por exemplo, cada estado puro de um elétron atribui probabilidade 1 ao evento disjuntivo “o spin na direção x está para cima ou o spin na direção x está para baixo”.

Isto porque todos os elétrons admitem apenas dois valores possíveis para a grandeza spin em qualquer que seja a direção: o valor “para cima” e o valor “para baixo”. Todavia, no caso em que nosso elétron tenha um valor determinado para o spin numa direção diferente de x (por exemplo, na direção y), em virtude do princípio de indeterminação, ambos os membros de nossa disjunção (“o spin na direção x está para cima”, “o spin na direção x está para baixo”) deverão ser absolutamente indeterminados. Trata-se de uma situação lógica frequente em mecânica quântica, onde frequentemente surgem alternativas determinadas, cujos membros são totalmente indeterminados.

Sobre esta base se demonstra que, diferentemente do caso clássico, a estrutura dos eventos quânticos não dá origem a uma álgebra de Boole. Obtêm-se uma estrutura algébrica mais fraca, que pertence a uma classe de estruturas abstratas particulares, chamadas reticulados ortocomplementados ortomodulares (ver nota 1). Mais fraco significa que cada álgebra de Boole é um reticulado ortocomplementado ortomodular, mas não vice-versa.

Como vimos, a lógica clássica é a lógica que corresponde naturalmente à classe das álgebras de Boole. De modo análogo, também a classe dos reticulados ortocomplementados ortomodulares permite caracterizar uma lógica particular, a que se chama lógica quântica. Diferentemente da lógica clássica, a lógica quântica é essencialmente polivalente: os valores de verdade não são apenas o Verdadeiro e o Falso. As situações de indeterminação semântica são possíveis.

Um erro algébrico de Birkhoff e von Neumann?

A crítica de Popper a Birkhoff e von Neumann usa um argumento algébrico. Popper afirmou: tem de haver alguma coisa de errado na estrutura lógico-quântica que emerge do conjunto dos subespaços fechados em um espaço de Hilbert. Porque, apesar de sua aparência, trata-se de uma estrutura que colapsa numa álgebra de Boole.

Também sem entrar em detalhes técnicos, é fácil indicar onde se esconde o erro de Popper (na realidade, bastante banal, de um ponto de vista lógico).

Os passos fundamentais do raciocínio de Popper podem ser resumidos da seguinte forma:

1. Em primeiro lugar relembra-se a noção de reticulado unicamente complementado: um reticulado é unicamente complementado quando para cada um de seus elementos existe exatamente um outro elemento que se comporta como um “bom complemento” (ou seja, satisfaz dois princípios que representam a “versão algébrica” dos princípios do terceiro excluído e de não-contradição).
2. “Birkhoff demonstrou que cada reticulado ortocomplementado é também uma álgebra de Boole, desde que seja unicamente complementado”.
3. No caso da estrutura dos eventos quânticos, “Birkhoff e von Neumann falam de uma operação de complemento, e isto implica que a negação seja única [...] Nem sempre é observado que um símbolo como a' implica uma única operação [a operação indicada pelo símbolo '] e isto leva a contradição quando é utilizado no caso em que a tenha mais de um complemento”.
   Conclusão: “O reticulado proposto por Birkhoff e von Neumann, suposto não booliano, é, na realidade, uma álgebra de Boole”.

Onde está o erro neste raciocínio? Na realidade, a estrutura dos eventos quânticos é ao mesmo tempo ortocomplementada e não unicamente complementada. De fato, cada evento quântico (diferente do evento certo e do impossível) tem infinitos bons complementos. O evento que vem escolhido como a negação quântica de um dado evento é um elemento especial nesta classe de bons complementos. Não há qualquer contradição em tudo isto, e a estrutura dos eventos quânticos não colapsa numa álgebra de Boole.

Em conclusão, o erro de Popper está todo no passo 3, enquanto que os passos 1 e 2 estão obviamente corretos.

A lógica quântica e as variáveis ocultas

Por que Popper considerava a abordagem lógico-quântica uma “inimiga” da sua filosofia da mecânica quântica? Em muitas ocasiões, Popper defendeu uma interpretação estatística extrema do princípio de indeterminação. Segundo ele, os micro-objetos poderiam ter, para pares de grandezas físicas incompatíveis (como a posição e a velocidade), valores acompanhados de precisões que vão além dos limites estabelecidos pelas relações de indeterminação de Heisenberg. Em certo sentido, Popper realmente antecipou o célebre argumento de Einstein-Podolsky-Rosen, (chamado no jargão “EPR”), que foi apresentado pela primeira vez, em 1935, no artigo “Can Quantum Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete?”

A intenção de Einstein, Podolsky e Rosen era de demonstrar a incompletude física da mecânica quântica “ortodoxa”: os estados puros da teoria não podem representar um máximo de informação; caso contrário, seria possível derivar algumas consequências paradoxais. O tipo de experiência mental proposta por Popper pode ser descrito como uma espécie de “ultra EPR”, baseado em alguns erros físicos.

Há uma troca de correspondência entre Einstein e Popper sobre este problema: Einstein aponta os erros de Popper, e Popper (diferentemente do que fez mais tarde com Jauch) parece aceitar a crítica de Einstein. Nesta ocasião, Einstein repete a sua bem conhecida posição face à mecânica quântica: “[...] em segundo lugar, não acredito que devemos contentar-nos com uma descrição tão tênue (fadenscheinig) da Natureza”.

É significativo que Popper, na segunda edição inglesa da sua A Lógica da Pesquisa Científica, remetendo para a carta de Einstein, havia traduzido o alemão fadenscheinig com loose and flimsy, isto é, “aproximativo e superficial”, que parece ter um significado pejorativo com respeito ao adjetivo originário.

No fim da discussão de Birkhoff e von Neumann, Popper discute a possibilidade de usar instrumentos lógico-quânticos para estudar o problema das variáveis ocultas. Novamente, sua posição com relação à lógica quântica é decididamente negativa:

“Nota-se que eles [Birkhoff e von Neumann] propõem um mero enfraquecimento da estrutura lógica [...] Não é possível derivar qualquer conclusão sobre as chamadas “variáveis ocultas” no contexto de um sistema enfraquecido dessa forma, a menos que estas conclusões sejam já deriváveis no sistema clássico mais forte”.

Este é novamente um ponto muito crítico. Naturalmente, Popper tem razão, se se refere aos sistemas lógicos puros. A lógica quântica é uma lógica mais fraca do que a clássica: cada lei da lógica quântica é também uma lei da lógica clássica, mas em geral não o inverso. Portanto, não é possível demonstrar através da lógica quântica qualquer coisa que não seja já demonstrável na lógica clássica. Todavia, as argumentações importantes não são apenas teóricas, mas também (e frequentemente) metateóricas. Raciocinar no nível metateórico significa raciocinar sobre a capacidade demonstrativa e semântica de teorias e lógicas diversas. Nesta perspectiva, a lógica quântica se revelou um instrumento metateórico muito eficaz mesmo na discussão do problema das variáveis ocultas.

É possível completar deterministicamente (e não trivialmente) a mecânica quântica recorrendo a variáveis ocultas? Depois da publicação do artigo de Einstein-Podolsky-Rosen, o problema da completude física da mecânica quântica deu origem a inúmeras discussões. O que significaria completar a mecânica quântica através de uma teoria não contextual de variáveis ocultas? Muito resumidamente trata-se do seguinte: cada estado puro ψ da teoria deveria ser estendido a um estado completo ψ, λ onde λ representa a parte oculta que se refere a valores de grandezas físicas hoje desconhecidas. De outro modo:

1. ψ,λ tem de estar em condições de decidir todos os eventos quânticos (determinismo);
2. ψ e ψ,λ têm de ser coerentes, seja do ponto de vista lógico, seja do ponto de vista estatístico. Portanto, o estado ortodoxo ψ e o completo ψ,λ (com a parte oculta) devem fornecer as mesmas previsões probabilísticas.
3. O completo com a parte oculta tem de ser não contextual: ou seja, tem de depender exclusivamente do estado ortodoxo ψ, e não da escolha do observador que, em contextos diversos, pode decidir misturar grandezas diversas.

O problema da completabilidade física (via variáveis ocultas) revelou-se profundamente conectado com uma propriedade lógica, que foi chamada propriedade de Lindenbaum (ou também completabilidade lógica). Uma lógica satisfaz a propriedade de Lindenbaum quando cada teoria não contraditória, expressa na sua linguagem, admite uma extensão não contraditória e logicamente completa, onde uma teoria é logicamente completa quando cada proposição expressa na sua linguagem é demonstrada ou refutada: ou seja, não existem problemas não decididos.

A lógica clássica e muitas lógicas não clássicas satisfazem a propriedade de Lindenbaum. Esta é uma condição que, do ponto de vista intuitivo, justifica a crença no fato de que, pelo menos em princípio, todos os problemas sejam decidíveis, pelo menos in mente Dei, ainda que com modalidades não computáveis e não acessíveis à comunidade científica. O que acontece numa situação lógico-quântica? Neste caso, a propriedade de Lindenbaum é em geral violada. Além disso, as duas condições de completabilidade lógica e completabilidade física estão profundamente conectadas. Obtém-se, de fato, a relação seguinte: a mecânica quântica admite um completamento determinístico via variáveis ocultas se, e somente se, a lógica quântica associada ao sistema de todos os eventos quânticos satisfaz a propriedade de Lindenbaum. Obtém-se assim uma versão puramente lógica dos chamados no-go theorems: a mecânica quântica não pode ser completada de modo determinístico por uma teoria não contextual de variáveis ocultas. Contra as expectativas de Einstein, parece inevitável aceitar a ideia de que “Deus joga aos dados”.

Nota 1: Reticulados e álgebras de Boole

Uma álgebra de Boole é um reticulado distributivo, dotado de máximo, mínimo e complementado.

1. Um reticulado é uma estrutura algébrica ordenada que tem a seguinte forma: S = (S, ≤). Onde: ≤ é uma relação de ordem parcial (reflexiva, antissimétrica e transitiva) definida sobre o conjunto S. Para cada par de elementos a, b da estrutura existe o supremo a∫b (ou seja, o menor elemento que segue tanto a quanto b segundo a ordem ≤), e existe o ínfimo a|b (ou seja, o maior elemento que precede tanto a quanto b segundo a ordem ≤).
2. Um reticulado distributivo é um reticulado no qual as operações de supremo e ínfimo satisfazem as relações de distributividade. Ou seja, o ínfimo distribui sobre o supremo: a|(b∫c) = (a|b)∫(a|c). Simetricamente, o supremo distribui sobre o ínfimo.
3. Um reticulado é dotado de máximo e de mínimo quando contém um elemento (1, o máximo), que segue todos os outros elementos, e um elemento (0, o mínimo) que precede todos os outros elementos segundo a relação de ordem ≤.
4. Um reticulado complementado é um reticulado sobre o qual é definida uma operação de complemento ', que satisfaz os princípios de não-contradição e terceiro excluído. Ou seja, a∫a'= 1, a|a' = 0.

Um exemplo concreto de álgebra de Boole é representado pela estrutura de todos os subconjuntos de um conjunto dado, onde a união, a interseção e o complemento relativo realizam respectivamente as operações de supremo, ínfimo e complemento. O elemento mínimo é representado pelo conjunto vazio, enquanto que o elemento máximo é representado pelo conjunto total.

Os reticulados ortocomplementados ortomodulares são estruturas algébricas muito gerais, onde o princípio de distributividade é substituído por uma condição mais fraca chamada ortomodularidade.

Nota 2: Os espaços de Hilbert

Um espaço de Hilbert H é um particular espaço vetorial sobre o qual está definida uma operação de produto escalar que associa a cada par de vetores um número (real ou complexo). O espaço deve ser metricamente completo com respeito à métrica induzida pela operação de produto escalar; ou seja, quando o espaço contém todos os elementos de uma sequência de Cauchy, deve conter também o limite desta sequência. Exemplos facilmente visualizáveis de espaços de Hilbert são o R² (o plano cartesiano) e o R³ (o espaço tridimensional).

Os subespaços fechados de um espaço de Hilbert H são particulares conjuntos de vetores de H que são fechados com respeito a combinações lineares e com respeito a sequências de Cauchy (ou seja, a aplicação de tais operações a elementos do subespaço considerado leva ainda a elementos do subespaço).

Por exemplo, no caso do R,³ os subespaços fechados serão:

1. Todas as retas passando pela origem dos eixos;
2. Todos os planos que contêm a origem;
3. O conjunto cujo único elemento é a origem (chamado subespaço nulo);
4. O conjunto de todos os vetores do R³ (chamado subespaço total).

A teoria dos espaços de Hilbert é um instrumento essencial para o desenvolvimento da mecânica quântica.

Nota 3: O ortocomplemento em R³

Consideremos a reta X. O ortocomplemento de X será o plano determinado por Y e Z (constituído por todos os vetores ortogonais a cada vetor pertencente à reta X).

Bibliografia